Nel post precedente è stata fatta una veloce panoramica sulle macchine reversibili giungendo alle seguenti conclusioni:
- Il rendimento di una macchina termica ciclica è sempre inferiore a 1
- Tutte le macchine termiche, cicliche e reversibili che operano fra due stesse sorgenti termiche hanno uguale rendimento.
- Il rendimento di una macchina ciclica, termica e irreversibile è sempre inferiore a quello di una reversibile se operano tra le stesse due sorgenti termiche.
È corretto ipotizzare l’esistenza di macchine reversibili? Per di più vincolate ad operare tra sole due sorgenti termiche? La risposta è sì. La conferma è fornita dalla macchina di Carnot; sebbene non sia realizzabile in pratica perché nella realtà non esistono trasformazioni reversibili.
Prima di descrivere la macchina di Carnot, bisogna chiedersi quali siano le caratteristiche che debba avere una macchina reversibile. Banalmente si potrebbe rispondere che non debbano presentarsi trasformazioni irreversibili, che potrebbero essere eliminate se si facesse in modo che:
- Tutte le parti mobili siano prive di attriti.
- Il fluido con cui opera la macchina abbia vischiosità nulla.
- Non ci debbano essere scambi di calore tra fluido, parti della macchina o parti esterne alla macchina a temperature diverse.
Dato che stiamo facendo una costruzione teorica, i punti 1 e 2 sono automaticamente risolti perché eliminati per ipotesi. Tuttavia, per ipotesi, la nostra macchina reversibile dovrà funzionare scambiando calore con due sorgenti termiche a temperatura differente, quindi il punto 3 non può essere liquidato così facilmente.
Il punto 3 impone che gli scambi di calore debbano avvenire isotermicamente.
La macchina di Carnot funziona in modo tale che il fluido operante in essa scambi calore con le due sorgenti esterne seguendo due trasformazioni isoterme collegate fra loro da due adiabatiche. Quindi, le condizioni richieste al punto 3 sono soddisfatte e a meno che non si verifichino irreversibilità descritte nei punti 1 e 2 il ciclo risulta essere reversibile.
Per una migliore descrizione della macchina ed il suo ciclo si veda Wikipedia.
Il teorema di Carnot
Se il rendimento di una macchina reversibile che opera tra due sorgenti termiche non è dipendente dalla macchina (perché hanno tutte lo stesso rendimento), significa che esso è funzione solo delle sorgenti esterne.
Nasce spontaneamente una domanda: ma quanto vale?
Per rispondere, basta calcolare il rendimento di una sola macchina reversibile e a nostra disposizione abbiamo proprio la macchina di Carnot.
Allo scopo possiamo usare una macchina di Carnot che abbia come fluido operante un gas ideale, con il quale non abbiamo difficoltà a fare valutazioni, poiché ne conosciamo sia la legge di stato che le leggi delle trasformazioni notevoli (INSERIRE IL LINK).
Con riferimento alla figura:
(figura tratta da Wikipedia)
Detto Q1 il calore scambiato con la sorgente calda e Q2 quello con la sorgente fredda, sappiamo che il rendimento di ogni macchina è espresso da:
\[ \eta=1-\frac{\left|Q_{2}\right|}{\left|Q_{1}\right|} \]
dove:
\[ Q_{1}=mRT_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}} \]
\[ Q_{2}=mRT_{2}\ln\frac{V_{3}}{V_{4}} \]
Ma, osservando che il ciclo di Carnot è simmetrico, dalla regola del prodotto ad incrocio (INSERIRE IL LINK) ricaviamo che \$ \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{V_{3}}{V_{4}} \$.
\[ \eta = 1-\frac{\left|Q_{2}\right|}{\left|Q_{1}\right|} =
1-\frac{\left|mRT_{2}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}\right|}{\left|mRT_{1}\ln\frac{V_{3}}{V_{4}}\right|} =
1-\frac{T_2}{T_1} \]
Il teorema di Carnot
si esprime dicendo che:
Il rendimento della macchina di Carnot, \$\eta_c\$, e di tutte le macchine reversibili che operano tra due sorgenti termiche è funzione solamente della temperatura delle sorgenti ed è espresso da:
\[ \eta_c=1-\frac{T_{fredda}}{T_{calda}} \]
Dove le temperature vanno espresse usando quelle assolute dei gas, perché la formula che è stata ricavata usando le leggi dei gas ideali.
Equivalenza della scala delle temperature dei gas e quella termodinamica assoluta
Precedentemente abbiamo definito la scala termodinamica assoluta delle temperature come il valore della funzione h, giungendo alla conclusione che
\[ \frac{\left|Q_2\right|}{\left|Q_1\right|}= \frac{h(t_2)}{h(t_1)} \]
ma il teorema di Carnot ci permette di affermare che per una macchina reversibile che operi fra due sorgenti termiche
\[ \eta=1-\frac{\left|Q_{2}\right|}{\left|Q_{1}\right|}=1-\frac{T_2}{T_1} \]
quindi
\[ \frac{T_2}{T_1}=\frac{\left|Q_2\right|}{\left|Q_1\right|}= \frac{h(t_2)}{h(t_1)} \]
Le due scale sono uguali a meno di una costante di proporzionalità e hanno lo zero nello stesso punto. (\$T_2=0 \Leftrightarrow h(t_2)=0\$)
Scegliendo opportunamente la costante di proporzionalità o definendo h in modo tale che in un punto diverso da 0 le due scale assumano lo stesso valore allora esse coincideranno.
Una disuguaglianza notevole
Considerando che il rendimento di una macchina reale non può mai superare quello di una macchina reversibile, vale la seguente disuguaglianza:
\[ 1-\frac{\left|Q_{f}\right|}{\left|Q_{c}\right|} \leq 1-\frac{T_f}{T_c} \]
Osservando che \$Q_f\$ è calore che esce dalla macchina, che per la convenzione dei segni ha valore negativo, eliminando i valori assoluti, può essere messa nella seguente forma:
\[ \frac{Q_{c}}{T_{c}} + \frac{Q_f}{T_f} \leq 0\]
Ribadendo che il segno d’uguaglianza vale se e solo se la macchina è reversibile.
La precedente può essere vista come un’altra forma del teorema di Carnot, che, come vedremo più avanti, non è altro che la disuguaglianza di Clausius applicata alle macchine che operano tra due sorgenti termiche.