Estendendo quanto dedotto per la macchina di Carnot ad una macchina che operi tra n sorgenti termiche, affinché essa sia reversibile, dovrà avere un ciclo composto soltanto da isoterme ed adiabatiche reversibili.

A scopo di esercizio, proviamo a ricavare la disuguaglianza di Clausius e un’espressione del rendimento della macchina.

Cominciamo col tracciare su di un piano le n isoterme e le adiabatiche che collegano le isoterme fra loro. Per fissare le idee, possiamo immaginare che il ciclo abbia il seguente andamento:

ciclo-n-sorgenti-termicheIl ciclo rappresentato in figura è composto da n isoterme (T1,T2,…,Tn ) collegate l’una alla successiva tramite tratti di adiabatiche (in verde). I tratti di adiabatica che collegano due isoterme determinano i vertici di un ciclo di Carnot.
Con riferimento alla i-esima isoterma, il ciclo di Carnot ad essa relativa avrà vertici Ai,Bi,Ci,Di ed opererà fra le temperature Ti e Ti+1.

La figura è solo un caso particolare, generalizzando, non è detto che due isoterme siano collegate tramite un’unica coppia di adiabatiche, ne che il verso con cui si possa considerare il ciclo di Carnot, da esse determinato, debba essere obbligatoriamente quello orario. Ciò che ha carattere generale è che tra un’isoterma e quella a temperatura successiva si possono riconoscere tratti di almeno un ciclo di Carnot.

Ricaviamo la disuguaglianza di Clausius

Consideriamo la i-esima regione del piano compresa tra l’isoterma a temperatura Ti e quella a Ti+1. In questa regione possiamo, in generale, distinguere uno o più cicli di Carnot (nel caso in figura distinguiamo solo il ciclo Ai,Bi,Ci,Di). Applicando ad ognuno di essi il teorema di Carnot possiamo scrivere:

\[\frac{Q_{T_{i}}^{i}}{T_{i}}+\frac{Q_{T_{i+1}}^{i}}{T_{i+1}} \leq 0\]

Con il segno di uguale che vale se non c’è alcuna irreversibilità in ogni tratto considerato.

Dove \$Q_{T_{i}}^{i}\$ è il totale del calore che scambierebbero le macchine di Carnot determinate nella regione i con la sorgente a temperatura Ti e \$Q_{T_{i+1}}^{i}\$ è il totale del calore che scambierebbero con la sorgente a temperatura Ti+1.

Dunque, lungo l’isoterma Ti avvengono scambi termici, il cui totale si può immaginare dovuto alle macchine di Carnot determinate nella regione i e nella regione i-1.
Detto \$Q_{T_{i}}\$ il totale lungo l’isoterma Ti allora:

\[ Q_{t_{i}}=Q_{T_{i}}^{i}+Q_{T_{i}}^{i-1} \]

Applicando ad ogni regione i-esima del piano il teorema di Carnot e sommando

\[ \sum_{i=1}^{n-1}\frac{Q_{T_{i}}^{i}}{T_{i}}+\frac{Q_{T_{i+1}}^{i}}{T_{i+1}} \leq 0 \]

tuttavia, considerando che all’indice i troviamo il termine \$Q_{T_{i}}^{i}\$, mentre all’indice i-1 il termine \$Q_{T_{i}}^{i-1}\$, possiamo arrangiare la sommatoria precedente accorpando i termini che coinvolgono scambi termici lungo la stessa isoterma:

\[ \sum_{i=1}^{n-1}\frac{Q_{T_{i}}^{i}}{T_{i}}+\frac{Q_{T_{i+1}}^{i}}{T_{i+1}} =
\sum_{i=1}^{n }\frac{Q_{T_{i}}^{i-1}}{T_{i}}+\frac{Q_{T_{i}}^{i}}{T_{i}} =
\sum_{i=1}^{n }\frac{Q_{T_{i}}}{T_{i}} \leq 0 \]

Abbiamo ricavato la disuguaglianza di Clausius

\[ \sum_{i=1}^{n }\frac{Q_{T_{i}}}{T_{i}} \leq 0 \]

NOTA: nel riarrangiare la sommatoria, compaiono due nuovi termini, essi sono \$\frac{Q_{T_1}^{0}}{T_1}\$ e \$\frac{Q_{T_n}^{n}}{T_n}\$ che non appartenendo alla sommatoria di origine, devono essere considerati nulli.
Fantasiosamente, possono essere considerati come relativi a scambi termici di cicli di Carnot situati immaginariamente nella regione 0 e nella regione n del piano, non comprese fra le isoterme da T1 a Tn.
Scambiando calori nulli, scompaiono i tratti d’isoterma nelle regioni 0 ed n, e questi cicli si riducono a tratti coincidenti di adiabatica reversibile, che in figura ho rappresentato idealmente tra i punti A0,B0,C0,D0 e An,Bn,Cn,Dn.

Rendimento

Cominciamo con definire \$Q_{T_{i}}^{+}\$ il calore fornito alla macchina dalla sorgente a temperatura Ti e \$Q_{T_{i}}^{-}\$ il calore ceduto dalla macchina alla sorgente a temperatura Ti.
Il rendimento della macchina è definito come il rapporto tra il lavoro che produce ed il calore che assorbe da tutte le sorgenti:

\[ \eta = \frac{L}{\left| \sum_{i=1}^{n }Q_{T_{i}}^{+} \right|} \]

Ma, essendo la macchina ciclica, per il primo principio della termodinamica:

\[ \eta = \frac{L}{\left| \sum_{i=1}^{n }Q_{T_{i}}^{+} \right|} = \frac{ \left|\sum_{i=1}^{n }Q_{T_{i}}^{+}\right|  – \left| \sum_{i=1}^{n }Q_{T_{i}}^{-}\right|  }{ \left|\sum_{i=1}^{n }Q_{T_{i}}^{+}\right|}  = 1 – \frac{ \left| \sum_{i=1}^{n }Q_{T_{i}}^{-}\right| }{\left|\sum_{i=1}^{n }Q_{T_{i}}^{+}\right|} = 1-\frac{ \left| Q^- \right| }{\left|Q^+\right|} \]

Dove Q+ e Q- sono il totale del calore rispettivamente ricevuto e ceduto alle n sorgenti termiche.

La disuguaglianza di Clausius ci permette di scrivere:

\[ \sum_{i=1}^{n }\frac{Q_{T_{i}}}{T_{i}} = \sum_{i=1}^{n }\frac{Q_{T_{i}}^{+}}{T_i}  +  \sum_{i=1}^{n }\frac{Q_{T_{i}}^{-}}{T_i} \leq 0 \]

ovvero,

\[ \frac{ \sum_{i=1}^{n }\frac{Q_{T_{i}}^{-}}{T_i} }{\sum_{i=1}^{n }\frac{Q_{T_{i}}^{+}}{T_i}} \leq -1 \]

osservando che la temperatura termodinamica è sempre positiva e che per la convenzione dei segni \$Q_{T_{i}}^{+}\$ è positivo mentre \$Q_{T_{i}}^{-}\$ è negativo, passando ai valori assoluti,

\[ \frac{ \left| \sum_{i=1}^{n }\frac{Q_{T_{i}}^{-}}{T_i}\right| }{ \left|\sum_{i=1}^{n }\frac{Q_{T_{i}}^{+}}{T_i}\right| } \geq 1 \]

Viene spontaneo fare la media del valore \$\frac{1}{T}\$ ponderato al calore scambiato con la sorgente a temperatura T. Quindi per il calore assorbito dalla macchina possiamo definire \$T_{\text{med}}^+\$

\[
\frac{1}{T_{\text{med}}^+}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{Q_{T_{i}}^{+}}{T_{i}}}{\sum_{i=1}^{n}Q_{T_{i}}^{+}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{Q_{T_{i}}^{+}}{T_{i}}}{Q^{+}}
\]

allo stesso modo definiamo \$T_{\text{med}}^-\$

\[
\frac{1}{T_{\text{med}}^-}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{Q_{T_{i}}^{-}}{T_{i}}}{\sum_{i=1}^{n}Q_{T_{i}}^{-}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{Q_{T_{i}}^{-}}{T_{i}}}{Q^{-}}
\]

Quindi possiamo scrivere il rendimento della macchina come

\[\eta = 1-\frac{ \left| Q^- \right| }{\left|Q^+\right|} = 1-\frac{ T_{\text{med}}^- \left|\sum_{i=1}^{n}\frac{Q_{T_{i}}^{-}}{T_{i}} \right| }{ T_{\text{med}}^+\left|\sum_{i=1}^{n}\frac{Q_{T_{i}}^{+}}{T_{i}} \right|} \leq 1-\frac{ T_{\text{med}}^- }{ T_{\text{med}}^+}\]

Dove il segno di uguale vale solo nel caso che la macchina non presenti irreversibilità.