Se ne vuole dimostrare l’equivalenza. Cioè: se è vero uno dei due enunciati, allora necessariamente è vero anche l’altro; se uno dei due è falso, allora necessariamente è falso anche l’altro.
Si può procedere per assurdo, facendo notare che se è falso l’enunciato di Kelvin-Planck allora necessariamente è falso anche l’enunciato di Clausius, poi facendo vedere che se è falso l’enunciato di Clausius allora lo è anche quello di Kelvin-Planck. Per i dettagli sulla logica, vedi: Dimostrare l’equivalenza di due proposizioni.
Supponiamo per assurdo che non si a vero l’enunciato di Kelvin-planck. Allora dovrebbe esistere una macchina termica, capace di operare ciclicamente su di un’unica sorgente termica (denotiamola S1) e trasformare il calore ricevuto in lavoro utile. Il lavoro ottenuto da questa macchina potrà sempre essere trasformato interamente in calore, a qualunque temperatura, tramite un meccanismo dissipativo, ad esempio tramite attrito operato su di una sorgente termica a temperatura più alta di quella di S1.
Il sistema composto dalla macchina termica ipotizzata ed il meccanismo dissipativo, costituiscono, nell’insieme, un sistema il cui unico risultato è stato quello di trasferire del calore da una sorgente termica ad una più calda. Ciò in contrasto all’enunciato di Clausius.
Ipotizziamo, invece, che non sia vero l’enunciato di Clausius. Allora dovrebbe esistere un sistema, denotiamolo NC, tale da operare su di una sorgente termica fredda, Sf, e trasportarne calore Qfc verso una sorgente calda Sc. Tutto ciò, come unico risultato sull’ambiente e senza che nulla sia cambiato nel sistema.
Potremmo pensare d’inserire una macchina termica tra la sorgente calda Sc e quella fredda Sf per ottenere del lavoro utile. Tecnicamente esistono diverse macchine capaci di operare ciclicamente tra due sorgenti termiche. Si pensi ad un impianto con turbina a vapore, con turbina a gas, oppure più semplicemente ad una macchina di Stirling. La scelta della macchina impiegata non rilevante ai fini della dimostrazione. Ciò che preme è far osservare che sono disponibili delle macchine termiche. Ognuna di queste macchine, però assorbe una certa quantità di calore Qc dalla sorgente calda ne riversa un’altra Qf nella sorgente fredda e produce del lavoro L. Alla fine di un ciclo, un semplice bilancio d’energia ci permette di affermare che il lavoro prodotto è
L = Qc – Qf
Una tale macchina termiche può essere sempre progettata in maniera tale che, alla fine di un ciclo, il calore Qf riversato nella sorgente fredda sia uguale a quello Qfc che il sistema NC è capace di riportare nella sorgente calda. In questo modo, la quantità di calore riversata nella sorgente fredda è uguale a quella che si riesce ad asportare.
Se ne deduce che considerando come un unico sistema la macchina termica, il sistema NC e la sorgente fredda, in un ciclo si è capaci di produrre un lavoro L assorbendo dalla sola sorgente calda del calore Q = Qc – Qfc, senza che nient’altro sia cambiato nel sistema.
In contrasto con quanto postulato nell’enunciato di Kelvin-Planck.