Ovvero: che forza ci vuole per spremere un tubetto di dentifricio?

Scopo del seguente documento non è fornire un’analisi dettagliata del processo di estrusione, ma provare a dare una risposta alla domanda posta nel sottotitolo. (Si spera).

Cos’è un processo di estrusione?

L’estrusione è un processo di lavorazione per deformazione plastica in cui un semilavorato metallico, generalmente sotto forma di billetta, viene inserito in un cilindro e forzato a fluire attraverso un orifizio sagomato (matrice di estrusione) tramite la spinta esercitata da un pistone (denominato punzone o spintore), solitamente mosso da una pressa idraulica.

E’ facile intuire che l’entità del carico \$F\$ necessario allo svolgimento del processo, e quindi la dimensione della pressa, sono influenzati dalla sezione trasversale del semilavorato su cui opera il punzone tramite la relazione: \$F=p_{0}A_{0}\$ Dove \$A_{0}\$ è l’area della sezione trasversale del semilavorato e \$p_{0}\$ è la pressione che il punzone esercita su di esso. E’quindi fondamentale determinare la legge con cui \$p_{0}\$ varia al variare dei parametri fondamentali del processo.

Valutazione empirica

Per processi che si volgono a velocità di deformazioni “ragionevoli”, si riportano formule empiriche che permettono, ad una prima approssimazione, di stimare la pressione che deve esercitare il punzone.

La pratica mostra che in un processo di estrusione a caldo, non si commette un grosso errore se si considerano proporzionali la pressione \$p_{0}\$ e la deformazione reale che subisce il semilavorato estruso, in funzione della temperatura e del tipo di materiale, tramite la relazione
\[p_{0}=K_{estrusione}\epsilon_{totale}\]

dove \$\epsilon_{totale}\$ è la deformazione reale che subisce il semilavorato estruso, che come è noto può essere espressa da una delle seguenti
\[\epsilon_{totale}=\intop_{l_{0}}^{l_{1}}\frac{dl}{l}=\ln\frac{l_{1}}{l_{0}}=\ln\frac{a_{0}}{a_{1}}\]
dove \$a_{0}\$ ed \$l_{0}\$ sono la sezione e la lunghezza iniziale del semilavorato e \$a_{1}\$ e \$l_{1}\$ sono quelle al termine del processo. \$K_{estrusione}\$ è una costante che varia in funzione del tipo di materiale e della temperatura di estrusione. Nei testi 1) e 2) si trovano dei grafici da cui ricavarla. Di carattere più generale è la seguente:
\$$\begin{equation} p_{0}=Y(a+bepsilon_{totale}) \end{equation}\$$
dove \$a\$ e \$b\$ sono dei coefficienti sperimentali e \$Y\$ è la tensione di flusso plastico del materiale. La precedente può essere applicata anche ai processi di estrusione a freddo se si ha l’accortezza di sostituire alla tensione \$Y\$ la tensione media di flusso del materiale \$\sigma_{media}\$. Per l’estrusione a freddo 1) riporta:
\$$p_{0}=sigma_{media}(0,8+1,2epsilon_{totale})\$$
In un’estrusione a freddo, il materiale presenta caratteristiche meccaniche differenti prima è dopo l’estrusione, poiché man mano che viene spinto dal punzone nella matrice di estrusione subisce una deformazione che ne causa l’incrudimento, ovvero un aumento della tensione di snervamento che può essere approssimato dalla ben nota legge \$\sigma=K\epsilon^{n}\$ dove K è il coefficiente di resistenza del materiale ed n il fattore di incrudimento. E’ quindi necessario calcolare il valore medio della tensione di snervamento che interviene nella deformazione del materiale. Essa può essere calcolata ricorrendo al teorema del valore medio:
\$$\begin{equation}\sigma_{medio}\epsilon_{totale}=\intop_{0}^{\epsilon_{totale}}K\epsilon^{n}d\epsilon= \frac{K\epsilon_{totale}^{n+1}}{n+1}\label{eq:4}\end{equation}\$$
\$$\begin{equation}\sigma_{medio}= \frac{K\epsilon_{totale}^{n}}{n+1}= \frac{\sigma_{finale}}{n+1}\label{eq:5}\end{equation}\$$

Ad una prima analisi

In ogni processo di lavorazione per deformazione plastica, il lavoro totale \$u_{tot}\$ per unità di volume del materiale necessario al suo svolgimento può essere scomposto in 3 aliquote:

\$$u_{tot}=u_{i}+u_{a}+u_{r}\$$

  1. Il lavoro ideale \$u_{i}\$, corrispondente al lavoro compiuto dalla tensione di flusso plastico, si dimostra facilmente che può essere espresso come
    \$u_{i}=\intop_{0}^{\epsilon_{totale}}\sigma d\epsilon\$che nel caso di lavorazioni a caldo diventa \$u_{i}=Y\epsilon_{totale}\$ e nel caso di lavorazioni a freddo ci si riporta a \$ \frac{K\epsilon_{totale}^{n+1}}{n+1}\$.
  2. Il lavoro \$u_{a}\$ necessario a vincere le forze di attrito all’interfaccia tra il materiale e la macchina che opera su di esso
  3. Il lavoro ridondante \$u_{r}\$ dovuto alla non omogenea deformazione del materiale a causa degli sforzi di taglio che si manifestano tra i piani di scorrimento del materiale. Tali sforzi non alterano la geometria finale del prodotto, ma ne distorcono il “reticolo” in maniera tanto più marcata quanto maggiore è la deformazione \$\epsilon_{totale}\$.

E’ facile verificare che la pressione ideale \$p_{i}\$ che il punzone dovrà esercitare per compiere il lavoro ideale è proprio pari a \$u_{i}\$infatti
\$$p_{i}a_{0}l_{0}=u_{i}V=u_{i}a_{0}l_{0}\$$
\$$p_{i}=u_{i}\$$

Determinare la pressione necessaria a vincere le forze di attrito non è semplice, essendo determinate dalla geometria della matrice d’estrusione e dalla geometria della zona morta che si forma a monte di essa.

Per semplicità procediamo nel calcolo considerando un processo a caldo, in modo da poter supporre la tensione di snervamento costante e nell’ipotesi semplificativa che il processo di estrusione avvenga in una zona tronco conica.
Si può immaginare che il materiale si comprima secondo una successione di calotte sferiche di spessore infinitesimale che vanno a determinare sulla superficie tronco conica tante piccole coroncine di spessore infinitesimale e di superficie dS.

estrusione-attrito

Supponendo la forza di attrito \$dF_{a}\$ che si genera in ogni coroncina proporzionale alla forza \$\sigma_{p}dS\$, essendo \$\sigma_{p}\$ la pressione che agisce lungo il tratto tronco conico, possiamo scrivere

\$$dF_{a}=\mu\sigma_{p}dS\$$

dato che ai nostri fini interessa soltanto la componente longitudinale della forza di attrito

\$$dF_{a}=\mu\sigma_{p}dS\cos\alpha\$$

possiamo esprimere dS in funzione del diametro D della coroncina. Trattandosi di infinitesimi, non si commette un errore se si considera dS avente area uguale a quella di una strisciolina di lunghezza \$\pi D\$ ed altezza \$\overline{MN} = \frac{1}{\sin\alpha} \frac{1}{2} dD\$.

Pertanto
\$$dF_{a}=\mu\cot\alpha \sigma_{p} \frac{\pi}{2}DdD\$$

Per ricavare la componente longitudinale della forza di attrito bisogna integrare lungo D, tenendo presente che \$\sigma_{p}\$ non è costante, ma varia.

Ricordando che ci troviamo in regime plastico, se \$\sigma_{r}\$ è la pressione che agisce in senso radiale su ogni calotta sferica, possiamo applicare il criterio di snervamento della massima tensione tangenziale. Tenendo presente che gli sforzi \$\sigma_{p}\$ e \$\sigma_{r}\$ sono di compressione e che il criterio dovrà risultare valido anche nella sezione di uscita, dove si può assumere \$\left| \sigma_{p} \right| \ge 0\$, \$\sigma_{r}=0\$, lo si scriverà come:

\[\sigma_{p}-\sigma_{r}=Y\]
\[\sigma_{p}=Y+\sigma_{r}\]

in cui se si considera \$\sigma_{r}\$ uguale alla pressione ideale per il proseguimento del processo di estrusione in ogni sezione del condotto tronco conico si ha

\[\sigma_{r}=Y\ln \frac{A}{A_{1}}=2Y\ln \frac{D}{D_{1}}\]
\[\sigma_{p}=Y\left[1+2\ln \frac{D}{D_{1}} \right] \]

che sostituito dà luogo a

\[dF_{a}= \frac{\pi}{2}\mu \cot\alpha Y\left[1+2\ln\frac{D}{D_{1}} \right]DdD \]

Posto \$\mu\cot\alpha=B\$

\begin{equation} F_{a}=\frac{\pi}{2}BY\intop_{D_{1}}^{D_{0}}(D+2D\ln \frac{D}{D_{1}})dD\end{equation}

dove l’integrale può essere risolto agevolmente separando la somma
e poi procedendo per parti sull’addendo di sinistra:

\begin{eqnarray*}
\intop_{D_{1}}^{D_{0}}(D+2D\ln\frac{D}{D_{1}})dD & = & \left[\frac{D^{2}}{2}\right]_{D_{1}}^{D_{0}}+2\left\{ \left[\frac{D^{2}}{2}\ln\frac{D}{D_{1}}\right]_{D_{1}}^{D_{0}}-\intop_{D_{1}}^{D_{0}}\frac{D_{1}}{D}\frac{1}{D_{1}}\frac{D^{2}}{2}dD\right\} =\\
& = & \left[\frac{D^{2}}{2}\right]_{D_{1}}^{D_{0}}+\left[D^{2}\ln\frac{D}{D_{1}}\right]_{D_{1}}^{D_{0}}-\left[\frac{D^{2}}{2}\right]_{D_{1}}^{D_{0}}=\\
& = & D_{0}^{2}\ln\frac{D_{0}}{D_{1}}=\\
& = & \frac{1}{2}D_{0}^{2}\ln\frac{a_{0}}{a_{1}}=\\
& = & \frac{1}{2}D_{0}^{2}\epsilon_{totale}\end{eqnarray*}

pertanto diventa \[
F_{a}=\frac{\pi}{4}D_{0}^{2}BY\epsilon_{totale}=a_{0}BY\epsilon_{totale}\]
\[
p_{a}=\frac{F_{a}}{a_{0}}=BY\epsilon_{totale}\]

Ovviamente si è giunti ad un risultato, molto approssimativo, sia per le ipotesi fatte sia perché nelle varie sezioni non si è tenuto conto degli incrementi di pressione dovuti alle forze attrito stesse, ma si è considerato \$\sigma_{r}\$ uguale alla pressione ideale.

Sommando la pressione ideale \$p_{i}\$ con la pressione \$p_{a}\$ dovuta alla forza di attrito si ha che all’imbocco del tratto tronco conico:

\[p_{estrusione}=(1+B)Y\epsilon_{totale}\]

Resta da considerare l’attrito che agisce lungo le pareti del cilindro, la cui analisi è difficile poiché è difficile valutare correttamente la pressione con cui il materiale che si trova al suo interno preme sulle pareti del cilindro.
Supponendo che la pressione sulle pareti si mantenga uguale alla \$\sigma_{p}\$ che agisce all’imbocco del tratto tronco conico \$\sigma_{p}=Y(1+epsilon_{totale})\$, se L è la lunghezza del tratto cilindrico allora la forza necessaria a vincere le forze di attrito per far avanzare il materiale al suo interno è\[F_{ac}=\mu\pi D_{0}LY(1+\epsilon_{totale})=\mu a_{0}4\frac{L}{D_{0}}Y(1+\epsilon_{totale})\]
\[p_{ac}=\frac{F_{ac}}{a_{0}}=4\mu\frac{L}{D_{0}}Y(1+\epsilon_{totale})\]

che diminuisce linearmente man mano che il pistone avanza nel cilindro.

Analisi mediante il metodo slab

Il metodo slab consiste nel immaginare di suddividere in tante sezioni elementari il materiale, ricavare le forze che agiscono su di esse in funzione delle tensioni e di un parametro di avanzamento del processo, supporre l’equilibrio statico, applicare un criterio di snervamento in modo da poter esprimere le forze in funzione di un’unica tensione. In questo modo si giunge ad un’equazione differenziale che lega tensione e avanzamento del processo di deformazione. Risolvendo tale equazione, facendo le opportune ipotesi sulle condizioni al contorno, si possono determinare le forze che agiscono in ogni punto del processo.

Un caso abbastanza semplice da analizzare è quello, già visto in precedenza, dell’estrusione a caldo di un materiale attraverso un tratto tronco conico.

estrusione-slab

Con riferimento alla figura

\[\begin{eqnarray*}
dR & = & \sigma_{p}\pi D\frac{1}{\sin\alpha}\frac{1}{2}dD \\
dF_{a} & = & \mu\sigma_{p}\pi D\frac{1}{\sin\alpha}\frac{1}{2}dD \\
F_{x} & = & \sigma_{r}\frac{\pi}{4}D^{2}\end{eqnarray*}\]

Conoscendo \$F_{x}\$ si calcola il suo differenziale tenendo presente
che dipende da D e \$\sigma_{r}\$

\[\begin{eqnarray*}
dF_{x} & = & \frac{\pi}{4}D^{2}d\sigma_{r}+\frac{\pi}{2}\sigma_{r}DdD\end{eqnarray*}\]

Imponendo l’equilibrio delle forze lungo l’asse longitudinale

\[\begin{eqnarray*}
F_{x}-\left(F_{x}+dF_{x}\right)+dF_{a}\cos\alpha+dR\sin\alpha & = & 0\\
dF_{x}-dF_{a}\cos\alpha-dR\sin\alpha & = & 0\\
\frac{1}{2}Dd\sigma_{r}+\sigma_{r}dD-\mu\cot\alpha\sigma_{p}dD-\sigma_{p}dD & = & 0\\
\frac{1}{2}Dd\sigma_{r}+\left[\sigma_{r}-\sigma_{p}\left(1+\mu\cot\alpha\right)\right]dD & = & 0\end{eqnarray*}\]

Denotando \$B=\mu\cot\alpha\$ e ricordando che per il criterio di plasticità
esposto in precedenza deve essere \$\sigma_{p}=Y+\sigma_{r}\$ si giunge
all’equazione differenziale\[\frac{d\sigma_{r}}{B\sigma_{r}+\left(1+B \right)Y}=2\frac{dD}{D}\]

Supponendo che nella sezione di uscita sia \$\sigma_{r}=0\$, se si integra dalla sezione di uscita fino alla sezione di imbocco del tratto tronco conico si può ricavare la tensione \$\sigma_{r0}\$che agisce normalmente alla calotta sferica di materiale all’imbocco del tratto tronco conico.

\[\begin{eqnarray*}
\intop_{0}^{\sigma_{r0}}\frac{d\sigma_{r}}{B\sigma_{r}+\left(1+B\right)Y} & = & 2\intop_{D_{1}}^{D_{0}}\frac{dD}{D}=2\ln\frac{D_{0}}{D_{1}}\\
\frac{1}{B}\intop_{0}^{\sigma_{r0}}\frac{Bd\sigma_{r}}{B\sigma_{r}+\left(1+B\right)Y} & = & 2\ln\frac{D_{0}}{D_{1}}\\
\frac{1}{B}\ln\left(\frac{B\sigma_{r0}}{\left(1+B\right)Y}+1\right) & = & 2\ln\frac{D_{0}}{D_{1}}\\
\frac{B\sigma_{r0}}{\left(1+B\right)Y} & = & \left(\frac{D_{0}}{D_{1}}\right)^{2B}-1\\
\sigma_{r0} & = & \frac{1+B}{B}\left[\left(\frac{D_{0}}{D_{1}}\right)^{2B}-1\right]Y\end{eqnarray*}\]
Quindi, trascurando gli attriti lungo le pareti del cilindro, lo sforzo
di estrusione si può calcolare secondo la seguente formula\[
F=p_{0}a_{0}=\sigma_{r0}a_{0}=\frac{1+B}{B}\left[\left(\frac{D_{0}}{D_{1}}\right)^{2B}-1 \right]\frac{\pi}{4}D_{0}^{2}Y\]

.

Commento alle formule

Da completare

Discutere delle ipotesi sotto cui sono state ricavate le formule analitiche
precedenti.

Ricordarsi che si è omesso il contributo degli sforzi di deformazione
ridondanti.

Non si sono fatte ipotesi sulla velocità di deformazione, che non
è (oppure è?) costante in ogni sezione (provare a calcolarla facendo
salva l’ipotesi che il pistone si muova con velocità costante).

Non si sono fatte ipotesi sulle tensioni circonferenziali che agiscono
sulle calotte sferiche.

 

Esempi

Da completare

 

Inserire qualche esercizio numerico