Il teorema del coseno (detto anche di Eulero) lega quattro elementi di un triangolo sferico e permette di ricavare l’ampiezza di un lato dalla conoscenza degli altri due lati e dell’angolo fra essi compresi, oppure di ricavare un angolo interno dalla conscenza degli altri due angoli e dell’ampiezza del lato ad esso opposto.

Il teorema delle cotangenti, invece, può essere visto come una diretta conseguenza del teorema dei seni e del coseno. Permette di legare quattro elementi consecutivi nella forma lato-angolo-lato-angolo e quindi ricavare un lato dalla conoscenza di un altro lato e degli angoli ad esso adiacenti.

L’uso sapiente di questi teoremi consente di risolvere triangoli sferici noti tre dei suoi elementi

Coseno di un lato

Incominciamo col ricavare una formula che permetta di ricavare il coseno di un lato. Allo scopo ci rifaremo alla costruzione vista nella dimostrazione del teorema dei seni.

Se la sfera ha raggio R , allora il coseno del lato c è dato da

\[ cos(c) = \frac{\overline{OF}}{\overline{OA}} = \frac{\overline{OF}}{R}\]

Dobbiamo trovare la relazione che lega la misura del segmento OF a gli altri elementi del triangolo che siano diversi da c. Prolunghiamo quindi il segmento DF fino ad incontrare il raggio OC nel punto G. Possiamo ricavare OF dalla conoscenza di OG:

\[ \overline{OF} = \overline{OG}cos(a) \]

Per maggior chiarezza riporto nella figura in basso la costruzione così effettuata nel piano BOC. (Il punto D è un po’spostato per inserire meglio tutti gli elementi, ma ciò non ha importanza ai fini della dimostrazione)

Tenendo presenti le due figure precedenti, si ha:

\[ \overline{OE} = Rcos(b)\]

ed inoltre

\[ \overline{EG} = \overline{ED}tan(a) = Rsen(b)cos(\gamma)tan(a)\ \]

Quindi,

\[ cos(c) = \frac{\overline{OF}}{R} = \frac{\overline{OG} cos(a) }{R} = \frac{\left( \overline{OE} + \overline{EG} \right) cos(a) }{R} \]

sostituendo ad OE ed EG le espressioni precedentemente ricavate e semplificando, si ottiene:

\[ cos(c) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)cos(\gamma) \]

Con raggionamento analogo si possono ottenere queste altre due formule:

\[ cos(b) = cos(a)cos(c) + sen(a)sen(c)cos(\beta) \]
\[ cos(a) = cos(b)cos(c) + sen(b)sen(c)cos(\alpha) \]

Il coseno di un lato di un triangolo sferico è uguale al prodotto dei coseni degli altri due lati più il prodotto dei loro seni moltiplicato per l’angolo fra essi compreso.

Coseno di un angolo

Riferendoci alle relazioni che intercorrono fra lati ed angoli di un triangolo ABC ed il suo polare A’B’C’ (riassunte nella figura in basso)

possiamo applicare la formula del coseno di un lato da uno dei lati del triangolo A’B’C’. Ad esempio:

\[ cos(180°-\alpha) = cos(180°-\beta)cos(180°-\gamma) + sen(180°-\beta)sen(180°-\gamma)cos(180°-a) \]

Ricordando le relazioni fra angoli supplementari delle funzioni trigonometriche, allora:

\[ -cos(\alpha) = cos(\beta)cos(\gamma) – sen(\beta)sen(\gamma)cos(a) \]
\[ cos(\alpha) = sen(\beta)sen(\gamma)cos(a) – cos(\beta)cos(\gamma) \]

Allo stesso modo si ricava che:

\[ cos(\beta) = sen(\alpha)sen(\gamma)cos(b) – cos(\alpha)cos(\gamma) \]
\[ cos(\gamma) = sen(\alpha)sen(\beta)cos(c) – cos(\alpha)cos(\beta) \]

Teorema delle cotangenti

Consideriamo la seguente formula come base di partenza per la dimostrazione del teorema delle cotangenti

\[ cos(a) = cos(b)cos(c) + sen(b)sen(c)cos(\alpha) \]

Come accennato in precedenza, il teorema delle cotangenti lega 4 elementi consecutivi di un triangolo sferico. A tale scopo eliminiamo la dipendenza della formula precedente dall’ampiezza del lato c (scelta del tutto arbitraria, si può procedere analogamente anche per il lato b) esprimimendo cos(c) tramite il teorema del coseno e sen(c) tramite il teorema dei seni:

\[ cos(a) = cos(b)\left(cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)cos(\gamma)\right) + sen(b)\frac{sen(a)}{sen(\alpha)}sen(\gamma)cos(\alpha) \]

\[ cos(a)(1-cos^2(b)) = cos(b)sen(a)sen(b)cos(\gamma) + sen(b)sen(a)sen(\gamma)cot(\alpha) \]

\[ cos(a)sen^2(b) = cos(b)sen(a)sen(b)cos(\gamma) + sen(b)sen(a)sen(\gamma)cot(\alpha) \]

Dividendo per sen(b)sen(a) si giunge a:

\[ cot(a)sen(b) = cos(b)cos(\gamma) + sen(\gamma)cot(\alpha) \]

Ripetendo lo stesso raggionamento per ogni lato del triangolo (eliminando la dipendenza per ogni formula formula del coseno prima di un lato, poi dell’altro) si può giungere a scrivere 6 formule dall’aspetto simile alla precedente.

Regola mnemonica del teorema delle cotangenti

Dato che l’applicazione del teorema delle cotangenti si ripete di frequente nei problemi di geometria sferica esiste un metodo mnemonico che può aiutare a memorizzarla.
E’di aiuto notare come la formula sia “palindroma” cioè come la sua scrittura sia simmetrica rispetto al centro. Quindi si scrive:

\[ cot()sen() = cos()cos() + sen()cot() \]

Poi, ricordando che la formula lega elementi consecutivi nella forma lato-angolo-lato-angolo, ma invertendo l’ordine degli elementi intermedi, inseriamo come argomenti delle funzioni trigonometriche gli elementi del triangolo, partendo dal lato d’interesse fino al suo angolo opposto disegnando un percorso a “fiocchetto” e riportando due volte gli elementi intermedi. Ad esempio, con riferimento al triangolo nella figura seguente, la formula delle cotangenti si scrive:

\[ cot(b)sen(c) = cos(c)cos(\alpha) + sen(\alpha)cot(\beta) \]

oppure seguendo il lato opposto:

\[ cot(b)sen(a) = cos(a)cos(\gamma) + sen(\gamma)cot(\beta) \]

Si noti anche che i lati si dispongono a sinistra e gli angoli a destra.

A prima vista questa regola può sembrare complessa da ricordare, ma con un po’ di pratica… almeno riduce il rischio di commettere errori.