Il teorema dei seni.
La seguente figura rappresenta un generico triangolo dove si è usata la convenzione di denotare i vertici con lettere maiuscole, i lati opposti ai vertici con le corrispondenti lettere minuscole e gli angoli interni appartenenti ad ogni vertice con le corrispondenti lettere greche minuscole.
Con riferimento alla figura, l’altezza può essere espressa indipendentemente da una delle due seguenti uguaglianze:
\[ h = b sin(\gamma) = c sin(\beta) \]
ovvero
\[ \frac{b}{sin(\beta)} = \frac{c}{sin(\gamma)} \]
Ripetendo lo stesso ragionamento rispetto ad un altro lato si giunge alla conclusione che
\[ \frac{a}{sin(\alpha)} = \frac{b}{sin(\beta)} = \frac{c}{sin(\gamma)} \]
relazione nota come teorema dei seni: In ogni triangolo il rapporto tra la lunghezza di un lato ed il seno dell’angolo ad esso opposto è costante.
Il teorema dei seni per un triangolo sferico.
Se si è compresa la dimostrazione del teorema dei seni per un triangolo piano, è semplice procedere alla dimostrazione del teorema per un triangolo sferico, anche se la costruzione è un po’ più complessa. La dimostrazione procede allo stesso modo considerando un’altezza e la relazione che la lega ai lati. C’è da considerare però che nei triangoli sferici è più comodo considerare le ampiezze dei lati piuttosto che le loro lunghezze, essendo queste deducibili facilmente una volta noto il raggio della sfera.
Consideriamo un qualunque triangolo sferico appartenente ad una sfera di raggio R e centro O. Usiamo per denotare gli elementi del triangolo la stessa convenzione usata per il triangolo piano. Possiamo allora rappresentarlo con la seguente figura
Nella figura: la proiezione del vertice A, ortogonalmente al piano diametrale OBC, determina il punto D; quindi la proiezione ortogonale di D sui regmenti OC ed OB determina i punti E ed F.
Si faccia attenzione a notare che con la costruzione così effettuata, il piano che contiene i punti AED è normale al segmento OC, in quanto esso contiene i segmenti AD e DE entrambi ortogonali al segmento OC. In particolare, i segmenti AE ed OC sono ortogonali. Allo stesso modo si dimostra l’ortogonalità dei segmenti AF ed OB.
Inoltre è bene notare anche che l’angolo in E, AED, corrisponde all’angolo interno \$\gamma\$ di vertice in C in quanto angolo diedro tra i piani diametrali AOC e BOC che determinano i lati AC ed AB del triangolo sferico. Discorso analogo nel punto F.
Allora, la lunghezza del segmento AD può essere espressa da una delle due uguaglianze:
\[\overline{AD}=\overline{AE}sin(\gamma)=\overline{AF}sin(\beta)\]
Ma i segmenti AE ed AF possono essere espressi in funzione del raggio della sfera, R, e delle ampiezze dei lati b e c del triangolo sferico, quindi
\[\overline{AD}=Rsin(b)sin(\gamma)=Rsin(c)sin(\beta)\]
da cui
\[\frac{sin(b)}{sin(\beta)}=\frac{sin(c)}{sin(\gamma)}\]
Ripetendo lo stesso ragionamento rispetto ad un altro lato del triangolo sferico, si può giungere alla conclusione che:
\[\frac{sin(a)}{sin(\alpha)}=\frac{sin(b)}{sin(\beta)}=\frac{sin(c)}{sin(\gamma)}\]
che traduce il seguente teorema: In ogni triangolo sferico è costante il rapporto tra il seno di un angolo ed il seno dell’ampiezza del lato che gli si oppone.