La lossodromia è una curva tracciata sulla superficie terrestre che gode della proprietà di tagliare tutte le linee meridiane sempre con lo stesso angolo.

Lo studio di questa curva è importante nella navigazione tradizionale, poiché, capita spesso che una nave si muova sulla superficie terrestre seguendo una rotta costante.

Equazione della lossodromia

Per dedurre la sua equazione, si assumono come noti le coordinate (latitudine e longitudine) di un suo punto e l’angolo di rotta (costante) con cui taglia i meridiani. Consideriamo per il momento la superficie terrestre come una sfera di raggio unitario ed esprimiamo la latitudine e la longitudine in radianti, in modo da semplificare i calcoli. Sia dunque \(a(\varphi_{a},\lambda_{a})\) un punto noto della lossodromia, R l’angolo di rotta ed \(x(\varphi_{x},\lambda_{x})\) un altro suo punto. Con riferimento alla figura,

un punto P che si muove sulla lossodromia, subisce istante dopo istante infinitesimali variazioni di latitudine \(d\varphi\) e longitudine \(d\lambda\). Se si considerano degli spostamenti sufficientemente piccoli, si può considerare localmente la sfera come se fosse piatta. E’ facile allora notare che le variazioni infinitesimali di latitudine \(d\varphi\) e longitudine \(d\lambda\) sono nella seguente relazione \[ d\lambda=\frac{d\mu}{\cos\varphi}=\frac{\tan R}{\cos\varphi}d\varphi \] Dunque, integrando lungo il cammino che va dal punto a al punto x si può scrivere \[ \lambda_{x}-\lambda_{a}=\tan R\int_{\varphi_{a}}^{\varphi_{x}}\frac{d\varphi}{\cos\varphi} \] Che rappresenta concettualmente l’equazione della lossodromia. Se si denota con \[ \Phi(\varphi)=\int\frac{d\varphi}{\cos\varphi} \] una nuova funzione definita a meno di una costante (che si può ritenere nulla, ) chiamata latitudine crescente, l’equazione della lossodromia mostra una notevole similitudine con l’equazione di una retta passante per due punti di coordinate \((\lambda_{a},\Phi(\varphi_{a}))\) e \((\lambda_{x}, \Phi(\varphi_{x}))\) in quanto si può scrivere: \[ \lambda_{x}-\lambda_{a}=\tan R\cdot[\Phi(\varphi_{x})-\Phi(\varphi_{a})] \] \[ \Delta\lambda=\Delta\Phi\tan R \] Resta da determinarne la sua forma analitica: \begin{eqnarray*} \Phi(\varphi)=\int\frac{d\varphi}{\cos\varphi} & = & \int\frac{d\varphi}{\sin(\frac{\pi}{2}+\varphi)}\\ & = & \int\frac{d\varphi}{2\sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2})\cos(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2})}\\ & = & \int\frac{2d(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2})}{2\sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2})\cos(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2})}\\ & = & \int\frac{dz}{\sin z\cos z}\\ & = & \int\frac{1}{\tan z}\frac{1}{\cos^{2}(z)}dz\\ & = & \ln(\tan z)+\text{cost}\\ & = & \ln(\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2}))+\text{cost} \end{eqnarray*} E’ appena il caso di notare che la funzione \(\Phi(\varphi)\) nell’intervallo di definizione della latitudine terreste ]-90°,+90°[ è strettamente crescente, quindi biunivoca, pertanto la scrittura \(\Delta\lambda=\Delta\Phi\tan R\) è ben posta. Alla fine, la formula cercata è la seguente: \[ \lambda_{x}-\lambda_{a}=\tan R\cdot[\ln(\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_{x}}{2}))-\ln(\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_{a}}{2}))]=\tan R\cdot\ln(\frac{\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_{x}}{2})}{\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_{a}}{2})}) \] Ricordando che fin’ora i calcoli sono stati eseguiti in radianti, per un uso adatto alla navigazione, bisogna adattare l’espressione precedente per l’utilizzo con i gradi: \[ \lambda_{x}-\lambda_{a}=\frac{180}{\pi}\tan R\cdot\ln(\frac{\tan(45°+\frac{\varphi_{x}}{2})}{\tan(45°+\frac{\varphi_{a}}{2})}) \]

Il paradosso della lossodromia

Con riferimento alla precedente figura, se si considera che \[ dm=\frac{d\varphi}{\cos R} \] allora la distanza che se separa due punti sulla sfera terrestre percorrendo una lossodromia sarà espressa da (il 60 serve per convertire i gradi in miglia: 1miglio = 1primo di grado) \[ m=60\frac{\Delta\varphi}{\cos R} \] Si consideri un punto a della superficie terrestre ed un secondo punto p infinitesimamente vicino ad un polo, ad esempio il polo nord, allora, presa una qualunque rotta R verso nord, ed evitando il caso particolare R=0°, il cammino da percorrere per raggiungere il polo sarà dato da \[ m=60\frac{90°-\varphi_{a}}{\cos R}=\text{un valore finito} \] mentre la differenza di longitudine tra i due punti sarà \[ \lambda_{p}-\lambda_{a}=\lim_{\varphi\rightarrow90°}\frac{180}{\pi}\tan R\cdot\ln(\frac{\tan(45°+\frac{\varphi}{2})}{\tan(45°+\frac{\varphi_{a}}{2})})=+\infty \] queste due osservazioni esprimono il paradosso della lossodromia: sebbene seguendo una qualsiasi rotta R verso nord, la distanza lossodromica che separa un punto dal polo nord è finita, la lossodromia si avvolge infinite volte attorno al polo nord. .