La regola mnemonica di Nepero permette di risolvere rapidamente un triangolo sferico rettangolo o rettilatero. Nella soluzione degli esercizi può essere paragonata per importanza al teorema di Pitagora per i triangoli piani.

Per giungere alla soluzione di un triangolo sferico, si potrebbero usare le formule generali che ho postato in precedenza, ma un triangolo sferico che ha un angolo o un lato di 90° può essere risolto molto più semplicemente.

Regola di Nepero per i triangoli sferici rettangoli

La regola mnemonica di Nepero si enuncia così:

In un triangolo sferico rettangolo, fissato un verso di percorrenza orario o ciò che è lo stesso antiorario, si dispongono, seguendo tale ordinamento, gli elementi che costituiscono il triangolo all’interno dei settori di una stella a 5 raggi, avendo l’accortezza di non inserire l’angolo retto e di sostituire all’ampiezza dei cateti il loro complemento.
Allora il coseno di ogni elemento fra i settori della stella è uguale sia al prodotto delle cotangenti degli elementi contenuti nei settori ad esso adiacenti sia al prodotto dei seni degli elementi contenuti nei settori ad esso lontani.

Esempio: Con riferimento alla figura in basso, sia ABC un triangolo retto in A, si fissa un verso di rotazione e si dispongono gli elementi, come enunciato nella regola, fra i settori della stella.

Con riferimento all’elemento a si può scrivere:

\[ cos(a) = cot(\beta)cot(\gamma) = sin(90°-c)sin(90°-b)\]

con riferimento a \$\gamma\$:

\[ cos(\gamma) = cot(a)cot(90°-b) = sin(\beta)sin(90°-c) \]

con riferimento a 90°-b

\[ cos(90°-b) = cot(90°-c)cot(\gamma) = sin(\beta)sin(a) \]

e così via per 90°-c e per \$\beta\$.

Per ogni settore della stella si possono scrivere due equazioni (quindi un totale di dieci equazioni) che permettono di risolvere agevolmente ogni elemento del triangolo non appena ne siano noti due (oltre all’angolo retto).

Dimostrazione:

Non so se esiste una dimostrazione elegante di tale regola, ma è semplice verificarla ricordando che \$\alpha\$ è un angolo retto,

Dal teorema dei seni si ricava:

\[ sin(b) = sin(a)sin(\beta) \]
\[sin(c) = sin(a)sin(\gamma)\]

ovvero

\[ cos(90°-b) = sin(a)sin(\beta) \]
\[cos(90°-c) = sin(a)sin(\gamma)\]

Dal teorema del coseno applicato al lato a:

\[ cos(a) = cos(b)cos(c) + sin(b)sin(c)cos(\alpha) = cos(b)cos(c) =sin(90-b)sin(90°-c)\]

Mentre, applicando il teorema del coseno agli angoli \$\beta\$ e \$\gamma\$

\[cos(\beta) = sin(\alpha)sin(\gamma)cos(b) – cos(\alpha)cos(\gamma) = sin(\gamma)cos(b) = sin(\gamma)sin(90°-b)\]

\[cos(\gamma) = sin(\alpha)sin(\beta)cos(c) – cos(\alpha)cos(\beta) = sin(\beta)cos(c) = sin(\beta)sin(90°-c)\]

Con queste osservazioni abbiamo dimostrato che la regola è verificata quando applicata ai settori lontani della stella.

Procediamo a dimostrarla nel caso dei settori adiacenti. In questo caso ci affideremo al teorema delle cotangenti.

Applicando il teorema delle cotangenti agli elementi a, \$\gamma\$, b, \$\alpha\$:

\begin{eqnarray*}
cot(a)sin(b) & = &cos(b)cos(\gamma) + sin(\gamma)cot(\alpha) \\
cos(\gamma) & = & cot(a)\frac{sen(b)}{cos(b)}=cot(a)\frac{cos(90°-b)}{sen(90°-b)}=cot(a)cot(90°-b)
\end{eqnarray*}

allo stesso modo, ma usando gli elementi a, \$\beta\$, c, \$\alpha\$, si ottiene

\[ cos(\beta) = cot(a)cot(90°-c) \]

Applicando il teorema delle cotangenti agli elementi b, \$\alpha\$, c, \$\beta\$:

\begin{eqnarray*}
cot(b)sin(c) & = & cos(c)cos(\alpha) + sin(\alpha)cot(\beta) \\
sin(c) & = & \frac{cot(\beta)}{cot(b)} = cot(\beta)tg(b)\\
cos(90°-c) & = & cot(\beta)cot(90°-b)
\end{eqnarray*}

allo stesso modo, ma usando gli elementi c, \$\alpha\$, b, \$\gamma\$, si ottiene

\[ cos(90°-b) = cot(\gamma)cot(90°-c)\]

Per dimostrare l’ultima relazione rimasta ci affidiamo al teorema del coseno applicato all’angolo retto \$\alpha\$:

\begin{eqnarray*}
cos(\alpha) & = & sin(\beta)sin(\gamma)cos(a) – cos(\beta)cos(\gamma) \\
cos(a) & = & \frac{cos(\beta)cos(\gamma)}{sin(\beta)sin(\gamma)} = cot(\beta)cot(\gamma)
\end{eqnarray*}

Regola di Nepero per i triangoli sferici rettilateri

Un altro caso notevole è il triangolo sferico rettilatero, cioè che ha un lato di ampiezza pari a 90°.
In questo caso la regola di Nepero si enuncia così:

In un triangolo sferico rettilatero, fissato un verso di percorrenza orario o ciò che è lo stesso antiorario, si dispongono, seguendo tale ordinamento, gli elementi che costituiscono il triangolo all’interno dei settori di una stella a 5 raggi, avendo l’accortezza di non inserire il lato retto e di sostituire all’angolo opposto al lato retto il suo supplemento ed agli altri angoli il loro complemento.
Allora il coseno di ogni elemento fra i settori della stella è uguale sia al prodotto delle cotangenti degli elementi contenuti nei settori ad esso adiacenti sia al prodotto dei seni degli elementi contenuti nei settori ad esso lontani.

Esempio: la figura rappresenta un triangolo rettilatero in a e la stella a 5 raggi con i settori contenenti gli elementi del triangolo secondo la regola mnemonica di Nepero.

Dimostrazione:

La lascio come facile esercizio facendo notare che la dimostrazione può essere effettuata in maniera analoga a quanto fatto per il triangolo rettangolo.

Alternativamente, si può osservare che, se il triangolo è rettilatero, il suo polare sarà rettangolo. Quindi è possibile applicare la regola di Nepero per il triangoli rettangoli al triangolo polare e succesivamente, usando le regole di correlazione, riportare la regola di Nepero sul triangolo rettilatero.