Le formule di Borda permettono di ricavare gli angoli interni di un triangolo sferico dalla conoscenza dell’ampiezza dei suoi lati e viceversa. Lo stesso risultato si sarebbe potuto ottenere usando le formule del coseno, ma nelle formule di Borda compaiono una radice, prodotti e divisioni, rendendola di semplice applicazione usando le tabelle dei logaritmi e delle funzioni trigonometriche: la calcolatrice scientifica è un’invenzione relativamente recente. Hanno trovato largo impiego nei problemi di navigazione astronomica.

Formule di Borda per gli angoli

Nei seguenti passaggi useremo la convenzione di denotare i vertici di un triangolo sferico con lettere maiuscole, i lati opposti ai vertici con le corrispondenti lettere minuscole e gli angoli interni appartenenti ad ogni vertice con le corrispondenti lettere greche minuscole.

Partendo dalla formula del coseno

\[cos(a)=cos(b)cos(c)+sen(b)sen(c)cos(\alpha)\]

si ricava

\[cos(\alpha)=\frac{cos(a)-cos(b)cos(c)}{sen(b)sen(c)}\]

formula che lega un angolo interno all’ampiezza dei lati del triangolo sferico.

Volendo ottenere le formule di Borda dalla precedente, si consideri la formula di bisezione (si noti che un angolo interno di un triangolo sferico non può superare i 180°, pertanto $\frac{\alpha}{2}$ è compreso tra 0° e 90°, intervallo in cui il coseno è positivo, pertanto la furmula di bisezione è ben definita)

\[cos(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}}\]

e si effettui la sostituzione. Ricordando le formule di addizione e di prostaferesi, semplificando si ottiene:

\begin{eqnarray*}
cos(\frac{\alpha}{2}) & = & \sqrt{\frac{1+\frac{cos(a)-cos(b)cos(c)}{sen(b)sen(c)}}{2}}=\\
& = & \sqrt{\frac{sen(b)sen(c)-cos(b)cos(c)+cos(a)}{2sen(b)sen(c)}}=\\
& = & \sqrt{\frac{cos(a)-cos(b+c)}{2sen(b)sen(c)}}=\\
& = & \sqrt{\frac{sen(\frac{a+b+c}{2})sen(\frac{b+c-a}{2})}{sen(b)sen(c)}}\end{eqnarray*}

Ponendo la somma dei lati del triangolo a+b+c=2s si ottiene in fine la formula:

\[cos(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{sen(s)sen(s-a)}{sen(b)sen(c)}}\]

Ordinando gli elementi del triangolo secondo la convenzione per cui il vertice A precede il vertice B che precede C che a sua volta precede A, si crea un ordinamento circolare. Dello stesso tipo di ordinamento ne godranno anche i lati e gli angoli interni.

Dato che la formula ottenuta è del tutto generica, effettuando una semplice permutazione circolare ovvero sostituendo ogni parametro della formula con il suo successivo, si ottengono le formule rispetto agli altri due angoli:

Formule di Borda del coseno di un angolo

\begin{eqnarray*}
cos(\frac{\alpha}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(s)sen(s-a)}{sen(b)sen(c)}}\\
cos(\frac{\beta}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(s)sen(s-b)}{sen(c)sen(a)}}\\
cos(\frac{\gamma}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(s)sen(s-c)}{sen(a)sen(b)}}\end{eqnarray*}

In maniera simile a quanto visto per il coseno si ottengono le

Formule di Borda del seno di un angolo

\begin{eqnarray*}
sin(\frac{\alpha}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(s-b)sen(s-c)}{sen(b)sen(c)}}\\
sin(\frac{\beta}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(s-c)sen(s-a)}{sen(c)sen(a)}}\\
sin(\frac{\gamma}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(s-a)sen(s-b)}{sen(a)sen(b)}}\end{eqnarray*}

Formule di Borda della tangente di un angolo

La tangente è il rapporto fra seno e coseno, per cui, dalle due precedenti:

\begin{eqnarray*}
tan(\frac{\alpha}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(s-b)sen(s-c)}{sen(s)sen(s-a)}}\\
tan(\frac{\beta}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(s-c)sen(s-a)}{sen(s)sen(s-b)}}\\
tan(\frac{\gamma}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(s-a)sen(s-b)}{sen(s)sen(s-c)}}\end{eqnarray*}

 

Formule di Borda per i lati

Volendo ricavare le formule di borda per i lati di un triangolo sferico, si può procedere a partire dalle formule del coseno in maniera simile a quanto visto per gli angoli, oppure, ricordando le relazioni che intercorrono tra un triangolo sferico ed il suo polare, si ottengono le seguenti formule correlative che si possono applicare alle già dimostrate formule di Borda per angoli.

\begin{eqnarray*}
a & \leftrightarrow & 180°-\alpha\\
b & \leftrightarrow & 180°-\beta\\
c & \leftrightarrow & 180°-\gamma\end{eqnarray*}

per ciò che riguarda s:

\[s=\frac{a+b+c}{2}\longleftrightarrow\frac{180°-\alpha+180°-\beta+180°-\gamma}{2}=180°-\frac{180°-\alpha-\beta-\gamma}{2}=180°-\frac{\sigma}{2}\]

Va notato che $\sigma = 180°-\alpha-\beta-\gamma$ è l’eccesso sferico!

Come esempio, applichiamo tali relazioni alla prima formula di Borda del coseno di un angolo, si ha:

\begin{eqnarray*}
cos(90-\frac{a}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(180-\frac{\sigma}{2})sen(180-\frac{\sigma}{2}-180+\alpha)}{sen(180-\beta)sen(180-\gamma)}}\\
sen(\frac{a}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(\frac{\sigma}{2})sen(\alpha-\frac{\sigma}{2})}{sen(\beta)sen(\gamma)}}\\
\end{eqnarray*}

Ragionando in questo modo si ottengono le

Formule di Borda del coseno di un lato

\begin{eqnarray*}
cos(\frac{a}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(\beta-\frac{\sigma}{2})sen(\gamma-\frac{\sigma}{2})}{sen(\beta)sen(\gamma)}}\\
cos(\frac{b}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(\gamma-\frac{\sigma}{2})sen(\alpha-\frac{\sigma}{2})}{sen(\gamma)sen(\alpha)}}\\
cos(\frac{c}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(\alpha-\frac{\sigma}{2})sen(\beta-\frac{\sigma}{2})}{sen(\alpha)sen(\beta)}}\end{eqnarray*}

Formule di Borda del seno di un lato

\begin{eqnarray*}
sen(\frac{a}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(\frac{\sigma}{2})sen(\alpha-\frac{\sigma}{2})}{sen(\beta)sen(\gamma)}}\\
sen(\frac{b}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(\frac{\sigma}{2})sen(\beta-\frac{\sigma}{2})}{sen(\gamma)sen(\alpha)}}\\
sen(\frac{c}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(\frac{\sigma}{2})sen(\gamma-\frac{\sigma}{2})}{sen(\alpha)sen(\beta)}}\end{eqnarray*}

Formule di Borda della tangente di un lato

\begin{eqnarray*}
tan(\frac{a}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(\frac{\sigma}{2})sen(\alpha-\frac{\sigma}{2})}{sen(\beta-\frac{\sigma}{2})sen(\gamma-\frac{\sigma}{2})}}\\
tan(\frac{b}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(\frac{\sigma}{2})sen(\beta-\frac{\sigma}{2})}{sen(\gamma-\frac{\sigma}{2})sen(\alpha-\frac{\sigma}{2})}}\\
tan(\frac{c}{2}) & = & \sqrt{\frac{sen(\frac{\sigma}{2})sen(\gamma-\frac{\sigma}{2})}{sen(\alpha-\frac{\sigma}{2})sen(\beta-\frac{\sigma}{2})}}\end{eqnarray*}

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