L’area di un triangolo sferico è uguale all’eccesso sferico moltiplicato per il quadrato del raggio della sfera.
Dimostrazione
Su di una sfera di raggio R, si consideri il triangolo sferico ABC.
Si prolunghino tutti e tre i lati del triangolo fino a formare tre circoli massimi. Con questa costruzione, per ogni vertice del triangolo si determinerà sulla sfera un fuso di apertura pari al vertice. Inoltre, per ogni vertice, tale fuso terminerà in un punto diametralmente opposto. Si viene quindi a creare un altro triangolo sferico, A’B’C’, immagine speculare del triangolo ABC rispetto al centro della sfera.
Si prenda in esame mezza superficie sferica, ad esempio, quella delimitata dal circolo che passa per i punti A e B e che contiene il punto C. L’area di mezza superficie sferica sarà somma delle aree di
- L’area del fuso determinato dal vertice A
- L’area del fuso di vertice B meno l’area del triangolo ABC (che altrimenti sarebbe conteggiata nuovamente)
- L’area del fuso di vertice C meno l’area del triangolo A’B’C’ (che non appartiene alla semisfera)
Dunque: semisfera = fuso A + fuso B + fuso C – triangolo ABC – triangolo A’B’C’
Ricordando che i triangoli ABC e A’B’C’ hanno la stessa area, che l’area di una semisfera è data da \$2\pi R^2\$ e similmente l’area di un fuso sferico di ampiezza \$\alpha\$ è data da \$2\alpha R^2\$, si può scrivere:
\[\begin{eqnarray*}
2\pi R^2 & = & 2\hat{A}R^2 + 2\hat{B}R^2 +2\hat{C}R^2 -2\left(\text{area triangolo ABC}\right)\\
\text{area triangolo ABC} & = & \left(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}-\pi\right)R^{2}
\end{eqnarray*}\]
Il termine \$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}-\pi\$ viene detto eccesso sferico, poiché, siccome l’area del triangolo sferico non può essere negativa, rappresenta prova del fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo sferico deve essere maggiore di \$\pi\$, (a differenza di quanto avviene nei triangoli piani dove è uguale a \$\pi\$).
Grazie, molto chiaro, anche il disegno!