- Una progressione aritmetica è una successione di numeri tali che la differenza tra due elementi consecutivi è una costante.
- Una progressione geometrica è una successione di numeri tali che il rapporto tra due elementi consecutivi è una costante.
Progressioni aritmetiche
Una progressione aritmetica è una successione di numeri tali che la differenza tra due elementi consecutivi è una costante che prende il nome di ragione della progressione. \[x_{i+1}-x_{i}=C\]
Quindi, detta C la ragione di una progressione ed \(x_{1}\) il primo elemento, il termine i-esimo della progressione può essere espresso come \[x_{i}=x_{1}+(i-1)C\]
Presi due qualunque elementi, d’indice r ed s, banalmente si ricava che \[x_{s}=x_{r}+(s-r)C\] infatti s-r è il numero di posti che separa i due elementi. Si può anche osservare che \(x_{s}-x_{r}=x_{1}+(s-1)C-x_{1}-(i-1)C=(s-r)C\).
Se ne deduce che tutti i termini di una progressione aritmetica sono determinati non appena se ne conosce la ragione ed uno qualunque dei suoi termini (ovviamente se ne deve conoscere anche l’indice).
È importante notare che in una progressione aritmetica finita (cioè composta solo da n elementi) la somma degli elementi equidistanti dagli estremi è costante ed uguale alla somma degli estremi.
Infatti se \(x_{p}\) ed \(x_{q}\) sono due elementi che distano rispettivamente k posizioni da \(x_{1}\) ed \(x_{n}\) allora \(x_{p}=x_{1}+kC\) e \(x_{q}=x_{n}-kC\) quindi \(x_{p}+x_{q}=x_{1}+x_{n}\). Questa proprietà ci permette di dimostrare come:
Calcolare la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica
Infatti sia: \[S_{n}=x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\] o ciò che è lo stesso \[S_{n}=x_{n}+x_{n-1}+\ldots+x_{1}\] Sommando assieme si ottiene \[2S_{n}=(x_{1}+x_{n})+(x_{2}+x_{n-1})+\ldots+(x_{n}+x_{1})\] ma i termini in parentesi sono equidistanti dagli estremi, per cui \[S_{n}=\frac{n(x_{1}+x_{n})}{2}\] oppure, esplicitando primo termine e ragione \[S_{n}=nx_{1}+\frac{n(n-1)}{2}C=nx_{1}+C\sum_{i=1}^{n-1}i\]
Progressione geometrica
Una progressione geometrica è una successione di numeri tali che il rapporto tra due elementi consecutivi è una costante che prende il nome di ragione della progressione. \[\frac{x_{i+1}}{x_{i}}=Q\]
Quindi, detta Q la ragione di una progressione ed \(x_{1}\) il primo elemento, il termine i-esimo della progressione può essere espresso come \[x_{i}=x_{1}Q^{i-1}\]
Presi due qualunque elementi, d’indice r ed s, banalmente si ricava che \[x_{s}=x_{r}Q^{s-r}\] infatti s-r è il numero di posti che separa i due elementi.
Si può anche osservare che \(\frac{x_{s}}{x_{r}}=\frac{x_{1}Q^{s-1}}{x_{1}Q^{r-1}}=Q^{s-r}\). Se ne deduce che tutti i termini di una progressione geometrica sono determinati non appena se ne conosce la ragione ed uno qualunque dei suoi termini (ovviamente se ne deve conoscere anche l’indice).
È importante notare che in una progressione geometrica finita (cioè composta solo da n elementi) il prodotto degli elementi equidistanti dagli estremi è costante ed uguale al prodotto degli estremi. Infatti se \(x_{p}\) ed \(x_{q}\) sono due elementi che distano rispettivamente k posizioni da \(x_{1}\) ed \(x_{n}\) allora \(x_{p}=x_{1}Q^{k}\) e \(x_{q}=x_{n}Q^{-k}\) quindi \(x_{p}x_{q}=x_{1}x_{n}\). Questa proprietà ci permette di dimostrare come:
Calcolare il prodotto dei primi n termini di una progressione geometrica
Sia \[P_{n}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\] o ciò che è lo stesso \[P_{n}=x_{n}x_{n-1}\cdots x_{1}\] Moltiplicando assieme si ottiene \[P_{n}^{2}=(x_{1}x_{n})(x_{2}x_{n-1})\cdots(x_{n}x_{1})\] ma i termini in parentesi sono equidistanti dagli estremi, per cui \[P_{n}=\pm\sqrt{(x_{1}x_{n})^{n}}\] dove il segno va valutato opportunamente. Ovviamente positivo se la progressione è a termini positivi. Esplicitando primo termine e ragione \[P_{n}=\pm\sqrt{(x_{1}x_{1}Q^{n-1})^{n}}=\pm x_{1}^{n}Q^{\frac{n(n-1)}{2}}=\pm x_{1}^{n}Q^{\sum_{i=1}^{n-1}i}\]
Calcolare la somma dei primi n termini di una progressione geometrica
Sia \[S_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n-1}+x_{n}\] o ciò che è lo stesso \[S_{n}=x_{1}+x_{1}Q+\cdots+x_{n-1}Q^{n-2}+x_{1}Q^{n-1}\] moltiplicando ambo i membri per Q \[S_{n}Q=x_{1}Q+x_{1}Q^{2}+\cdots+x_{n-1}Q^{n-1}+x_{1}Q^{n}\] sottraendo da quest’ultima la precedente, con semplificazioni a cascata, si ottiene \[ S_{n}=x_{1}\frac{Q^{n}-1}{Q-1}\]