Si dice che il problema della somma dei primi numeri naturali fu affrontato e risolto rapidamente da C.F.Gauss, famoso matematico, quando aveva l’età di soli 8 anni.

Il maestro della scuola frequentata da Gauss, per tenere impegnati gli allievi per un po’ di tempo, decise di assegnargli un compito alquanto lungo e ripetitivo: calcolare la somma dei numeri interi da 1 fino a 100.
Ma ebbe una sorpresa, quando Gauss dopo poco tempo gli diede la soluzione corretta.

Proviamo a ripercorrere il ragionamento fatto da Gauss.

 

 

Quanto vale la somma?

Quanto vale la somma \(\sum_{i=1}^{n}i\) ovvero \(1+2+3+\ldots+n\)?

Se i numeri da sommare non sono molti la somma si può calcolare a mente. Cosa dire se sono 100 o più?

Possiamo osservare che la somma del primo termine con l’ultimo vale n+1, la somma del secondo con il penultimo vale n+1, la somma del terzo con il terz-ultimo vale ancora n+1 e così via. Dato che i termini da sommare sono n, la soluzione al nostro quesito è a portata di mano.

Possiamo scrivere che la somma ha valore \(\frac{n}{2}(n+1)\)?

Per semplicità proviamo il ragionamento per n=7: 1+2+3+4+5+6+7 = (1+7)+(2+6)+(3+5)+4 = 8+8+8+4 = 28.

Ci accorgiamo che, sebbene \(28=\frac{7(7+1)}{2}\),

il nostro ragionamento non calza alla perfezione in quanto il numero 4 non si accoppia con nessun altro termine.

Dobbiamo correggere il ragionamento.

La somma \(1+2+3+\ldots+n\) si può riscrivere al contrario a partire da n fino ad 1 come \(n+(n-1)+(n-2)+\ldots+1\).

Dunque: \(2\times(1+2+\ldots+n)=[1+2+\ldots+n]+[n+(n-1)+\ldots+1]\)

che osservata in questo modo:

\[ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \ldots & n\\ + & + & + & \ldots & +\\ n & n-1 & n-2 & \ldots & 1\\ \shortparallel & \shortparallel & \shortparallel & \ldots & \shortparallel\\ n+1 & n+1 & n+1 & \ldots & n+1 \end{array} \]

 

Ci permette di dedurre facilmente che: \[ 2\times(1+2+\ldots+n)=n(n+1) \]

Di conseguenza la formula cercata è: \[ \sum_{i=1}^{n}i=1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2} \]

Un’immagine intuitiva del ragionamento effettuato:

Divisibilità della somma

La somma è divisibile per n ed \(\frac{n+1}{2}\) quando n è dispari, invece è divisibile per \(\frac{n}{2}\) ed n+1 quando n è pari.

Esempio:

Consideriamo n=7, allora: 1+2+3+…+7=28 che è uguale a 7×4 dove 7=n

mentre 4=\(\frac{n+1}{2}\)

 

Quanto vale la somma dei quadrati?

Cioè, quanto vale \(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\) ?

Immaginiamo di disporre i termini \(1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots\) come nella figura seguente:

Il nostro problema può essere risolto se riusciamo a calcolare l’area dei rettangoli tratteggiati in rosso per un numero n di termini.

Osserviamo che l’area dei rettangoli tratteggiati in rosso, cioè \(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\), è inclusa in un rettangolo di area \( n(n+1)^2\). Inoltre, preso un qualunque numero intero i, la differenza tra il quadrato del suo successivo ed il suo quadrato vale: \( (i+1)^{2}-i^{2}=2i+1 \). Pertanto, con riferimento alla figura, per i che varia da 1 ad n, il rettangolo di area \( n(n+1)^2 \) può essere visto come la somma dei rettangoli tratteggiati in rosso, di area \(i^2\), e quelli di area \( i ((i+1)^2-i^2)=i(2i+1)=2i^2+i\). Quindi:

\[ \begin{eqnarray*} n(n+1)^{2} & = & \sum_{i=1}^{n}i^{2}+\sum_{i=1}^{n}(2i^{2}+i)\\ n(n+1)^{2} & = & \sum_{i=1}^{n}i^{2}+2\sum_{i=1}^{n}i^{2}+\sum_{i=1}^{n}i\\ n(n+1)^{2} & = & 3\sum_{i=1}^{n}i^{2}+\frac{n(n+1)}{2}\\ 3\sum_{i=1}^{n}i^{2} & = & n(n+1)^{2}-\frac{n(n+1)}{2}\\ \sum_{i=1}^{n}i^{2} & = & \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{eqnarray*} \]

Quanto vale il quadrato della somma?

In base a quanto visto prima, la risposta più semplice è: \[ \left(\sum_{i=1}^{n}i\right)^{2}{\displaystyle =\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}} \]

Ma il problema porta intuitivamente alla seguente risoluzione geometrica:

Se denotiamo con \(A(n)\) l’area di un quadrato avente i lati di lunghezza \(1+2+\ldots+n\),  si può immaginare questo quadrato, costruito al crescere di n, tramite l’aggiunta su due lati contigui di tante strisce a forma di L di larghezza n (vedi figura).

L’area di tale striscia vale \(n^{3}\), infatti, basta considerare che tale striscia ha lunghezza \[ 2\times(1+2+\ldots+(n-1))+n=2\times{\frac{(n-1)n}{2}}+n=n^{2} \] oppure che la sua area è la differenza fra il quadrato di area \(A(n)\) e quello di area \(A(n-1)\): \[ A(n)-A(n-1)=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}-\left(\frac{(n-1)n}{2}\right)^{2}=n^{3} \]

In ogni caso si ricavano le seguenti n identità: \[ \begin{eqnarray*} A(n)-A(n-1) & = & n^{3}\\ A(n-1)-A(n-2) & = & (n-1)^{3}\\ A(n-2)-A(n-3) & = & (n-2)^{3}\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ A(2)-A(1) & = & 2^{3}\\ A(1) & = & 1 \end{eqnarray*} \]

Effettuando le opportune sostituzioni, oppure sommandole a due a due si giunge alla nuova identità: \[\begin{eqnarray*} A(n) & = & 1+2^{3}+\cdots+n^{3}\\ \left(1+2+\cdots+n\right)^{2} & = & 1+2^{3}+\cdots+n^{3} \end{eqnarray*}\] Scritta in maniera sintetica: \[ \left(\sum_{i=1}^{n}i\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n}i^{3} \]

Che risponde anche alla domanda successiva:

Quanto vale la somma dei cubi?

In base a quanto visto nella precedente domanda:

\[ \sum_{i=1}^{n}i^{3} = \left(\sum_{i=1}^{n}i\right)^{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\]

In generale, quanto vale la somma delle potenze ennesime dei primi numeri naturali?

Se consideriamo che un numero qualunque i, può essere scritto come (i-1)+1, possiamo calcolarne la potenza p-esima tramite la formula del binomio di Newton:

\[ i^{p}=((i-1)+1)^{p}=\binom{p}{0}(i-1)^{p}1^{0}+\binom{p}{1}(i-1)^{p-1}1^{1}+\binom{p}{2}(i-1)^{p-2}1^{2}+\cdots+\binom{p}{p-1}(i-1)^{1}1^{p-1}+\binom{p}{p}(i-1)^{0}1^{p} \]

Quindi, immaginiamo di scrivere le potenze p-esime dei numeri da 1 ad n+1 in una tabella, avendo cura di incolonnare i termini di uguale coefficiente binomiale (ovvero pari esponente),  ed eseguire alla fine la somma riga per riga.
Si ottiene una tabella come quella in basso:

 

 Dove si è denotato con  \(S_{p}=\sum_{i=1}^{n}i^{p}\), \(S_{p-1}=\sum_{i=1}^{n}i^{p-1}\), etc.

Da ciò, si ricava la seguente formula:

\[ (n+1)^{p}-(n+1)=\binom{p}{1}S_{p-1}+\binom{p}{2}S_{p-2}+\cdots+\binom{p}{p-1}S_{1} \]

Che consente di ottenere per via ricorsiva le formule per il calcolo, in generale, della somma della potenze p-esime dei numeri naturali da 1 ad n.

• Per p=2, la precedente diventa:
  \[ (n+1)^{2}-(n+1)=2S_{1} \]
  Da cui si ottiene il già noto risultato
  \[ S_{1}=\frac{n(n+1)}{2} \]
• Per p=3
  \[(n+1)^{3}-(n+1)=3S_{2}+3S_{1}=3S_{2}+3\frac{n(n+1)}{2}\]
  e ritroviamo
  \[S_{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
• Per p=4
  \[(n+1)^{4}-(n+1)=4S_{3}+6S_{2}+4S_{1}=4S_{3}+6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+4\frac{n(n+1)}{2}\]
  ovvero
  \[S_{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\]
• per p=5
  \[(n+1)^{5}-(n+1)=5S_{4}+10S_{3}+10S_{2}+5S_{1}=5S_{4}+10\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+10\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+5\frac{n(n+1)}{2}\]

da cui
\[S_{4}=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)\]

 

In teoria, si può continuare, ma al diventa sempre più complesso risolvere le equazioni successive.