Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
Se x ed y sono due vettori di uno spazio vettoriale euclideo, allora il valore assoluto del prodotto scalare di x per y è minore o uguale del prodotto dei loro moduli, uguale se e soltano se x ed y sono linearmente dipendenti.
$$ \abs{x \cdot y} \le \norm{x} \norm{y} $$
Dimostrazione
La classica dimostrazione che si trova in diversi libri di testo parte considerando la combinazione lineare x+ty, con \( t \in \mathbb{R} \)
Per le proprietà del prodotto scalare, è sempre:
$$ (x + ty)^2 \ge 0 $$
ovvero
\[ t^{2y^2} + 2tx \cdot y + x^2 \ge 0 \]
ne segue, siccome è sempre verificata qualunque sia t , che il discriminante deve essere minore o uguale a zero:
\[ (x \cdot y)^2 – x^{2y^2} \le 0 \]
Facendo presente che si è usata la notazione \(x \cdot x = x^2\) e che \(x \cdot x = \norm{x}^2\), risolvendo i quadrati segue la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Resta da notare che quando il discrimintante è uguale a zero, cioè vale il segno di uguaglianza nella disequazione di Cauchy-Schwarz, allora esiste un valore di t per cui x+ty=0, quindi x ed y sono linearmente dipendenti. Viceversa, considerando due vettori linearmente dipendenti, ricavando il primo rispetto al secondo e sostituendo nella disequazione di Cauchy-Schwarz è facile verificare che vale l’uguaglianza.
La disuguaglianza triangolare
La disuguaglianza triangolare afferma che la norma della somma di due vettori è sempre minore o uguale della somma delle loro norme, uguale se è soltanto se i vettori sono linearmente diperndenti.
$$ \norm{x+y} \le \norm{x} + \norm{y}$$
Si chiama disuguaglianza triangolare perché nello spazio dei vettori liberi geometrici rappresenta la ben nota legge geometrica per cui la somma di due lati di un triangolo è sempre maggiore del terzo lato (al limite uguale se i lati sono allineati). Infatti, considerando due vettori geometrici x ed y, y avente origine nel vertice di x, il vettore x+y ne rappresenta la somma e chiude il triangolo di lati x ed y (regola della spezzata).
Dimostrazione
Grazie alla disequazione di Cauchy-Schwarz possiamo dedurre la seguente
$$ \norm{x+y}^2 = (x+y)\cdot(x+y) = \norm{x}^2 + 2 x \cdot y + \norm{y}^2 \le \norm{x}^2 + 2 \norm{x} \norm{y} + \norm{y}^2 = ( \norm{x}+ \norm{y})^2$$
cioè
$$ \norm{x+y}^2 \le ( \norm{x}+ \norm{y})^2 $$
ricordando che la norma è sempre positiva, possiamo tranquillamente eliminare i quadrati ed ottenere la diseguaglianza triangolare.