Stranamente negli attuali testi di macchine non viene lasciato spazio alla trattazione del ciclo Stirling, eppure avevo sentito dire che il motore di Stirling è l’unico motore il cui ciclo teorico è in grado di raggiungere un’efficienza pari a quella del ciclo di Carnot. Fino ad oggi non avevo prestato attenzione a questa sua caratteristica.
Mi sono fermato a riflettere: quale sarà il segreto della sua efficienza?

Nella forma più semplice, il motore di Stirling, è realizzato nel seguente modo: ci sono due sistemi pistone-ciclindro uguali, colegati fra loro da un condotto di volume trascurabile. I due cilindri vengono mantenuti a temperature differenti tramite l’uso di due sorgenti termiche esterne, una fredda, l’altra calda. Il gas contenuto al loro interno viene fatto evolvere nel seguente modo:

• Fase 1-2: Tutto il gas si trova nel cilindro freddo. Il pistone comincia a muoversi verso l’alto comprimendolo lentamente, in modo che si possa realizzare (almeno teoricamente) una trasformazione isotermica che porta il gas dal volume v1 al volume v2, trasformando il lavoro L1-2 necessario alla compressione in calore Q1-2 fornito alla sorgente fredda
• Fase 2-3: ad un certo punto il pistone che si trova nel cilindro caldo incomincia ad abbassarsi e parte del gas freddo si riversa nel cilindro caldo. lo spostamento del pistone è tale da essere uguale ed opposto a quello del pistone freddo. In questo modo il gas si riversa nel cilindro caldo senza variare il volume a sua disposizione. Quando il pistone del cilindro freddo raggiunge la testa del cilindro, tutto il gas sarà nel cilindro caldo. Quindi si è realizzata una trasformazione isometrica del gas cha ha assorbito calore Q2-3 dalla sorgente calda per riscaldare il gas
• Fase 3-4: Il pistone nel cilindro caldo continua ad abbassarsi lentamente, ed il gas espande isotermicamente dal volume v3=v2 fino al volume v4=v1, convertendo durante questa trasformazione il calore Q3-4 assorbito dalla sorgente calda in lavoro L3-4.
• Fase 4-1: In maniera simile a quanto visto nella fase 2-3, il pistone del cilindro caldo risale verso l’alto, seguito in modo uguale ed opposto dal pistone nel cilindro freddo, riversando al suo interno il gas, ma mantenendone il volume a disposizione costante, mentre il gas per raffreddarsi cede calore Q4-1 alla sorgente fredda.

In prima ipotesi, per analogia con il motore di Carnot, potrebbe venire in mente che il segreto sta ne fatto che il motore Stirling scambia calore solo tra due sorgenti di calore. Un ben noto teorema della termodinamica afferma che: tutte le macchine termiche reversibili che scambiano calore tra due sorgenti termiche hanno lo stesso rendimento della macchina di Carnot E’ questo il segreto? Assolutamente no! Le due trasformazione isometriche, così come vengono realizzate nella macchina di Stirling non sono reversibili, quindi si va contro le ipotesi del teorema. Infatti, durante le trasformazioni isometriche, il gas viene inviato in un altro cilindro a temperatura differente, ed invertendo il moto dei pistoni, non si può invertire la trasformazione avvenuta poiché il calore può fluire spontaneamente da un corpo caldo ad uno freddo, ma non avviene mai il contrario. Affinché una trasformazione di un sistema che avviene con scambio di calore fosse reversibile, sarebbe necessaria una sorgente termica la cui temperatura fosse uguale istante per istante alla temperatura del sistema in trasformazione. Purtroppo, l’unica trasformazione (teorica) che avviene con scambio di calore a temperatura costante (e quindi reversibile) è l’isoterma! Lo è per definizione! In tutte le altre, qualunque essere fossero, il sistema varierebbe la sua temperatura. Se ne deduce che un motore che sia reversibile e che funziona scambiando calore tra solo due sorgenti termiche a temperatura costante, non può che operare tramite isoterme ed… adiabatiche, perché nelle trasformazioni adiabatiche non c’è scambio di calore, quindi non sono necessarie sorgenti termiche e (teoricamente) non ci sono problemi di reversibilità. Ma un ciclo che evolve tra isoterme ed adiabatiche è, come noto, un ciclo di Carnot. Ritornando al ciclo di Stirling, osserviamo che, per il principio di conservazione dell’energia, il lavoro prodotto dalla macchina di Stirling può essere espresso come la differenza tra l’energia che viene fornita come calore dalla sorgente calda meno l’energia che viene ceduta come calore alla sorgente fredda (principio valido per qualunque macchina termica). \[ L=Q_{23}+Q_{34}-(Q_{41}+Q_{12}) \] e quindi il rendimento, definito come l’energia ricavata come lavoro meccanico rapportata all’energia fornita dalla sorgente calda come calore assume la forma: \[ \eta=\frac{L}{Q_{23}+Q_{34}}=\frac{Q_{23}+Q_{34}-(Q_{41}+Q_{12})}{Q_{23}+Q_{34}}=1-\frac{Q_{41}+Q_{12}}{Q_{23}+Q_{34}} \]

Se denotiamo con \(c_v\) il calore specifico a volume costante del gas,\(R\) la costante dei gas,\(T_c\) la temperatura della sorgente calda,\(T_f\) la temperatura della sorgente fredda e \(\rho=\frac{V_1}{V_2}\) il rapporto di compressione del ciclo, allora gli scambi di calore coinvolti nel ciclo, relativamente ad una massa unitaria di gas, possono essere espressi con le seguenti formule: \[ \begin{eqnarray*} Q_{12} & = & RT_{f}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}=RT_{f}\ln\rho\\ Q_{23} & = & C_{v}(T_{c}-T_{f})\\ Q_{34} & = & RT_{c}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}=RT_{c}\ln\rho\\ Q_{41} & = & C_{v}(T_{c}-T_{f})\end{eqnarray*} \] e quindi il rendimento \[ \eta=1-\frac{C_{v}(T_{c}-T_{f})+RT_{f}\ln\rho}{C_{v}(T_{c}-T_{f})+RT_{c}\ln\rho} \] se si potesse eliminare lo scambio di calore che avviene durante le trasformazioni isometriche con le sorgenti termiche, allora il rendimento sarebbe funzione solo degli scambi termici lungo le trasformazioni isoterme e quindi assumerebbe la forma \[ \eta=1-\frac{RT_{f}\ln\rho}{RT_{c}\ln\rho}=1-\frac{T_{f}}{T_{c}} \] Ma il precedente coincide proprio con il rendimento della macchina di Carnot!

Ah – ha! Ecco il segreto del motore Stirling!

La genialata di Robert Stirling (l’ideatore di questo tipo di motori) è stata quella di pensare d’inserire un rigeneratore, ovvero uno accumulatore/scambiatore di calore a metà strada del condotto che collega i due cilindri. Infatti, dobbiamo osservare che durante le trasformazioni isometriche il gas è costretto a fluire attraverso il condotto di collegamento dei cilindri ed inoltre \(Q_{23} = Q_{41}\).

Il rigeneratore, durante la fase 4-1 del ciclo, si occupa del raffreddamento del gas caldo accumulandone il calore \(Q_{41}\). Durante la fase 2-3 il rigeneratore riscalda il gas restituendogli la quantità di calore accumulata precedentemente, evitando che fosse irrimediabilmente (ma sarebbe meglio dire: irreversibilmente) persa nella sorgente fredda. In questo modo, durante le trasformazioni isometriche, non avvengono scambi di calore con le sorgenti esterne. Dal punto di vista delle sorgenti esterne è “come se” queste trasformazioni fossero diventate adiabatiche. Allora in queste condizioni il motore di Stirling si comporta “come se” stesse eseguendo un ciclo di Carnot. Purtroppo un rigeneratore che funzioni esattamente come descritto è immaginabile solo in teoria, in pratica non si riesce a riportare il gas alla stessa temperatura dei cilindri, causando sempre una certa quantità di scambio termico con le sorgenti esterne, durante le trasformazioni isometriche.