Riprendiamo il discorso incominciato nel post precedente, analizziamo le fasi di un motore Stirling e ricaviamo una formula teorica che esprima il suo rendimento.

Nella forma più semplice, il motore di Stirling, è realizzato nel seguente modo: ci sono due sistemi pistone-ciclindro uguali, collegati fra loro da un condotto, che considereremo di volume trascurabile. I due cilindri vengono mantenuti a temperature differenti tramite l’uso di due sorgenti termiche esterne, una fredda, l’altra calda. A metà del condotto è posizionato un rigeneratore, ovvero un particolare accumulatore/scambiatore di calore.

Analizziamo le fasi di un motore Stirling con rigeneratore e ricaviamo una formula teorica che esprima il suo rendimento.

La sequenza di funzionamento è la seguente:

ciclo-stirling

  • Fase 1-2: Tutto il gas si trova nel cilindro freddo. Il pistone freddo si trova al punto morto inferiore mentre quello caldo è al punto morto superiore. Il pistone freddo comincia a muoversi verso l’alto comprimendo lentamente il gas, in modo che si possa realizzare (almeno teoricamente) una trasformazione isotermica che porta il gas dal volume v1 al volume v2, trasformando il lavoro L1-2 necessario alla compressione in calore Q1-2 fornito alla sorgente fredda
  • Fase 2-3: ad un certo punto il pistone che si trova nel cilindro caldo incomincia ad abbassarsi e parte del gas freddo si riversa nel cilindro caldo. lo spostamento del pistone è tale da essere uguale ed opposto a quello del pistone freddo. In questo modo il gas si riversa nel cilindro caldo senza variare il volume a sua disposizione. Quando il pistone del cilindro freddo raggiunge la testa del cilindro, tutto il gas sarà nel cilindro caldo. In questa fase si è realizzata una trasformazione isometrica con assorbimento di calore da parte del gas. Durante questa fase il gas fluisce attraverso il rigeneratore che fornisce al gas una frazione \(\alpha\) del calore necessario a portarlo alla temperatura del cilindro caldo. La restante frazione \(1-\alpha\) di calore viene fornita estenamente dalla sorgente termica calda.
  • Fase 3-4: Il pistone nel cilindro caldo continua ad abbassarsi lentamente, ed il gas espande isotermicamente finché il pistone caldo raggiunge il punto morto inferiore. Durante questa trasformazione si converte il calore Q3-4 assorbito dalla sorgente calda in lavoro L3-4.
  • Fase 4-1: In maniera simile a quanto visto nella fase 2-3, il pistone del cilindro caldo risale verso l’alto, seguito in modo uguale ed opposto dal pistone nel cilindro freddo, riversando al suo interno il gas, ma mantenendone il volume a disposizione costante. Il gas, per raggiungere la stessa temperatura del cilindro freddo, deve cedere calore ad una sorgente. Durante questa fase il gas fluisce attraverso il rigeneratore, a cui cederà una frazione \(\alpha\) del calore ed il restante \(1-\alpha\) alla sorgente fredda.

Se denotiamo con \(C_v\) il calore specifico a volume costante del gas,\(R\) la costante del gas,\(T_c\) la temperatura della sorgente calda,\(T_f\) la temperatura della sorgente fredda, \(\rho=\frac{V_1}{V_2}\) il rapporto di compressione del ciclo ed \(\alpha\) il rendimento del rigeneratore, allora l’entità degli scambi di calore con le sorgenti esterne, relativamente ad una massa unitaria di gas, possono essere espressi con le seguenti formule: \[ \begin{eqnarray*} Q_{12} & = & RT_{f}\ln\rho\\ Q_{23} & = & (1-\alpha) C_{v}(T_{c}-T_{f})\\ Q_{34} & = & RT_{c}\ln\rho\\ Q_{41} & = & (1-\alpha) C_{v}(T_{c}-T_{f})\end{eqnarray*} \] Il lavoro prodotto dalla macchina di Stirling può essere espresso come la differenza tra l’energia che viene fornita come calore dalla sorgente calda meno l’energia che viene ceduta come calore alla sorgente fredda. Quindi, il rendimento, definito come l’energia ricavata come lavoro meccanico rapportata all’energia fornita dalla sorgente calda come calore assume la forma: \[ \eta=\frac{L}{Q_{23}+Q_{34}}=\frac{Q_{23}+Q_{34}-(Q_{41}+Q_{12})}{Q_{23}+Q_{34}}=1-\frac{Q_{41}+Q_{12}}{Q_{23}+Q_{34}}=1-\frac{(1-\alpha) C_{v}(T_{c}-T_{f}) +RT_{f}\ln\rho}{1-\alpha) C_{v}(T_{c}-T_{f})+RT_{c}\ln\rho} \] ricordando dalla termodinamica che la costante di un gas è uguale alla differenza dei calori specifici a pressione e volume costante \(R = C_p – C_v\) \[ \eta= 1-\frac{(1-\alpha)(T_{c}-T_{f}) +\frac{C_p-C_v}{C_v} T_{f}\ln\rho}{1-\alpha) C_{v}(T_{c}-T_{f})+\frac{C_p-C_v}{C_v}T_{c}\ln\rho} =1-\frac{(1-\alpha)(T_{c}-T_{f}) +(\frac{C_p}{C_v} – 1)T_{f}\ln\rho}{1-\alpha) C_{v}(T_{c}-T_{f})+(\frac{C_p}{C_v}-1)T_{c}\ln\rho} \] Ponendo \(k=\frac{C_p}{C_v}\). (Per l’aria si può assumere k=1,41) \[ \begin{eqnarray*} \eta&=&1-\frac{(1-\alpha)(T_{c}-T_{f}) +T_{f}\ln\rho^{k-1}}{1-\alpha)(T_{c}-T_{f})+T_{c}\ln\rho^{k-1}}\\ &=&1-\frac{(1-\alpha)(1-\frac{T_{f}}{T_c}) + \frac{T_{f}}{T_c} \ln\rho^{k-1}}{(1-\alpha) (1-\frac{T_{f}}{T_c}) + \ln\rho^{k-1}} \\ &=&\frac{(1-\alpha)(1-\frac{T_{f}}{T_c}) + \ln\rho^{k-1} – (1-\alpha)(1-\frac{T_{f}}{T_c}) – \frac{T_{f}}{T_c} \ln\rho^{k-1}} {(1-\alpha) (1-\frac{T_{f}}{T_c}) + \ln\rho^{k-1}}\\ &=& \frac{ (1 – \frac{T_{f}}{T_c})\ln\rho^{k-1}} {(1-\alpha) (1-\frac{T_{f}}{T_c}) + \ln\rho^{k-1}}\\ \end{eqnarray*} \] se osserviamo che il rendimento della macchina di Carnot è espresso da \(\eta_c=1-\frac{T_f}{T_c}\) allora: \[ \eta=\frac{ \eta_c\ln\rho^{k-1}}{(1-\alpha)\eta_c + \ln\rho^{k-1}} \] Si può notare che il rendimento del ciclo Stirling tende al valore massimo \(\eta_c\) sia al crescere del rapporto di compressione, perché il calore perso durante le trasformazioni isometriche diventa sempre meno rilevante rispetto a quello scambiato durante le isoterme, sia al crescere del rendimento \(\alpha\) del rigeneratore, perché le isometriche tendono ad essere effettuate in “maniera più adiabatica”. In entrambi i casi, il ciclo si approssima meglio ad un ciclo di Carnot.