Si dimostrino le seguenti proposizioni notevoli sulle tautologie:

Proposizione: Se \$\mathbb{A}\$ è una tautologia e se lo è anche \$\mathbb{A}\supset\mathbb{B}\$, allora \$\mathbb{B}\$ è anch’essa una tautologia.

Dimostrazione: 
Se \$\mathbb{A}\$ è una tautologia, affinché lo sia anche \$\mathbb{A}\supset\mathbb{B}\$, è necessario che \$\mathbb{B}\$ non assuma mai il valore falso. Quindi \$\mathbb{B}\$ assume sempre vero.

Proposizione: Se \$\mathbb{A}\$ è una tautologia contenente gli enunciati \$A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}\$
e se \$\mathbb{B}\$ si ottiene da \$\mathbb{A}\$ sostituendo al posto
degli enunciati \$A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}\$ rispettivamente le formule
enunciative \$\mathbb{B}_{1},\mathbb{B}_{2},\ldots,\mathbb{B}_{n}\$
allora anche \$\mathbb{B}\$ è una tautologia.

Dimostrazione
Infatti, qualunque siano i valori di verità \$x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\$
assunti dalle formule \$\mathbb{B}_{1},\mathbb{B}_{2},\ldots,\mathbb{B}_{n}\$,
se associamo tali valori agli enunciati \$A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}\$
allora il risultante valore di verità di \$\mathbb{A}\$ sarà anche
il valore di verità di \$\mathbb{B}\$. Dal momento che \$\mathbb{A}\$
è sempre vera per ipotesi, lo sarà anche \$\mathbb{B}\$.

Proposizione: Sia \$\mathbb{P}\$ una formula logica contenente \$\mathbb{A}\$ in qualche posizione. Sia \$\mathbb{Q}\$ una formula logica derivata da \$\mathbb{P}\$
sostituendo una o più occorrenza di \$\mathbb{A}\$ con \$\mathbb{B}\$.
Allora \$(\mathbb{A}\equiv\mathbb{B})\supset(\mathbb{P}\equiv\mathbb{Q})\$
è una tautologia, ovvero se \$\mathbb{A}\$ e \$\mathbb{B}\$ sono logicamente
equivalenti allora lo sono anche \$\mathbb{P}\$ e \$\mathbb{Q}\$.

Dimostrazione:
Se \$\mathbb{A}\$ e \$\mathbb{B}\$ assumono valori logici discordi,
allora \$(\mathbb{A}\equiv\mathbb{B})\$ assume il valore F quindi l’implicazione
\$(\mathbb{A}\equiv\mathbb{B})\supset(\mathbb{P}\equiv\mathbb{Q})\$
è V indipendentemente dal valore logico di \$\mathbb{P}\$ e \$\mathbb{Q}\$.
Se, invece, \$\mathbb{A}\$ e \$\mathbb{B}\$ assumono valori logici concordi,
allora \$(\mathbb{A}\equiv\mathbb{B})\$ assume il valore V. Dato che \$ \mathbb{A}\$ e \$\mathbb{B}\$ assumono lo stesso valore nulla cambia
se in \$\mathbb{P}\$ si sostituisce una o più occorrenza di \$\mathbb{A}\$ con \$\mathbb{B}\$. Pertanto anche \$(\mathbb{P}\equiv\mathbb{Q})\$
assume il valore F e l’implicazione \$(\mathbb{A}\equiv\mathbb{B})\supset(\mathbb{P}\equiv\mathbb{Q})\$ è anche in questo caso V.