Trovare le tangenti all’iperbole di equazione data, passanti per un punto di coordinate note.

Trovare le tangenti all’iperbole di equazione \[\Gamma:\quad y^{2}-\frac{x^{2}}{2}=1\] Passanti per il punto di coordinate P(4,2)

 

 

 

Si può scrivere l’equazione del fascio di rette passanti per P e poi imporre che il discriminante risolutore del sistema tra il fascio di rette e l’iperbole ammetta un’unica soluzione, permettendo quindi di trovare le due rette tangenti. Si può risolvere il problema anche usando la regola dello sdoppiamento, infatti…

 

 

 

Svolgimento:

 

 

 

Se \(\overline{p}(\overline{x},\overline{y})\) è un punto qualunque di \(\Gamma\), per la regola dello sdoppiamento, la tangente a \(\Gamma\) in \(\overline{p}\) ha equazione: \[T:\quad y\overline{y}-\frac{x\overline{x}}{2}=1\] Imponendo che il punto \(P\) sia una soluzione di \(T\), il problema è risolto non appena si riesce a determinare il punto \(\overline{P}\in\Gamma\) che soddisfa \[2\overline{y}-\frac{4\overline{x}}{2}=1\] ovvero si deve risolvere il sistema di secondo grado \[ \begin{cases} 2\overline{y}-2\overline{x}=1\\ \overline{y}^{2}-\frac{\overline{x}^{2}}{2}=1\end{cases} \] che darà luogo a due soluzioni che, sostituite in \(T\), permettono di ottenere le equazioni delle due tangenti cercate.