La “formula del coseno della differenza di due angoli” è la formula base per la dimostrazione di molte altre formule trigonometriche. Diamo una ripassata alla sua dimostrazione!

La “formula del coseno della differenza di due angoli” è la formula base per la dimostrazione di molte altre formule trigonometriche.

Dimostrazione classica

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In una circonferenza goniometrica, si consideri la corda AB determinata dalla differenza di due archi di circonferenza di ampiezza \(\alpha\) e \(\beta\) (fig 1). Poi, si immagini di ruotare il sistema di riferimento di un angolo pari ad \(\alpha\) oppure \(\beta\) (scegliete voi) in modo tale che l’asse delle ascisse vada a coincidere con uno dei segmenti OA oppure OB. Scegliamo ad esempio il segmento OB (fig 2). Nel nuovo sistema di riferimento, la lunghezza della corda dell’arco A’B’ sarà uguale a quella di AB in quanto sottesa ad un arco della stessa ampiezza.

$$ \overline{AB} = \overline{A’B’} $$

Per il teorema di pitagora, la lunghezza delle corde è esprimibile come:

$$
\begin{align}
\overline{AB} &= \sqrt{ (\sin(\alpha) – \sin(\beta))^2 + (\cos(\alpha) – \cos(\beta))^2 } \\
\overline{A’B’} &= \sqrt{ (\sin(\alpha – \beta) – 0)^2 + (\cos(\alpha – \beta) -1)^2 }
\end{align}
$$

Dato che sotto le radici abbiamo la somma di due quadrati, cioè una quantità sempre positiva, possiamo scrivere:

$$ (\cos(\alpha – \beta) -1)^2 + \sin^2(\alpha – \beta) = (\sin(\alpha) – \sin(\beta))^2 + (\cos(\alpha) – \cos(\beta))^2
$$

che diventa:

$$
1 – 2\cos(\alpha – \beta) + \cos^2(\alpha – \beta) + \sin^2(\alpha – \beta) = \sin^2(\alpha) -2\sin(\alpha)\sin(\beta) +sin^2(\beta) + \cos^2(\alpha) -2\cos(\alpha)\cos(\beta) +cos^2(\beta)
$$

ricordandoci del teorema fondamentale delle funzioni trigonometriche (che si basa anch’esso su Pitagora) per cui, qualunque sia l’angolo \(\gamma\) vale: \(\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1\), la precedente equazione può essere semplificata e fornisce la formula cercata:

$$ \cos(\alpha – \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) $$

 

Dimostrazione vettoriale:

Molti testi di matematica (forse la maggior parte) forniscono una dimostrazione della “formula del coseno della differenza di due angoli” basandosi su nozioni di algebra vettoriale (che spesso non dimostrano).

Questi testi partono dalla definizione di prodotto scalare di due vettori, definita come prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell’angolo fra essi compreso, e dalla formula tramite la quale, in un sistema di riferimento ortogonale, il prodotto scalare è esprimibile come la somma del prodotto dei moduli delle componenti parallele dei due vettori.

Continuando nella dimostrazione, si considerino i segmenti OA ed OB come vettori di modulo unitario (fig 1):

$$\overrightarrow{OA} = \hat{i}\cos\alpha + \hat{j}\sin\alpha$$

$$\overrightarrow{OB} = \hat{i}\cos\beta + \hat{j}\sin\beta$$

Quindi, per le suddette proprietà del prodotto scalare:

$$ \|\overrightarrow{OA} \| \| \overrightarrow{OB} \| \cos(\alpha – \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) $$

$$ \cos(\alpha – \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) $$