La bilancia di Mohr-Westphal è uno strumento che permette di misurare la densità relativa di un liquido tramite una “pesata” della spinta spinta idrostatica.

Con riferimento alla figura, la bilancia è essenzialmente una leva a due bracci sospesa su di un fulcro.
Appeso al estremità di un braccio della bilancia c’è un corpo di massa Mi, detto immersore, che sarà immerso nel liquido di cui si vuole misurare la densità. Tale braccio è inoltre suddiviso in 10 parti uguali su cui possono essere appesi dei pesetti.
Ogni posizione è numerata da uno a dieci a partire rispettivamente dal fulcro fino all’estremità .
Il braccio opposto è invece dotato di una massa Me che può essere spostata con precisione e di un indice che si troverà in posizione 0-0 ogni qualvolta i bracci della bilancia saranno in condizione di equilibrio.

A corredo della bilancia vengono forniti dei pesetti di massa C1, C2, C3, C4. Ogni pesetto pesa un decimo del precedente, ossia sussistono le seguenti relazioni:
\[ \begin{eqnarray*} C_{2} & = & \frac{C_{1}}{10}\\ C_{3} & = & \frac{C_{1}}{100}\\ C_{4} & = & \frac{C_{1}}{1000} \end{eqnarray*} \]

Principio di funzionamento

S’incomincia con equilibrare la bilancia in aria spostando accuratamente la massa equilibratrice Me.

Sia b la distanza del baricentro della massa Me dal fulcro e sia u la lunghezza di ogni divisione del braccio graduato, allora preso il fulcro come polo e considerando come positivi i momenti che agiscono in senso antiorario, possiamo scrivere:
\[ M_{e}gb-M_{i}g10u=0 \]

Si è considerato trascurabile la spinta idrostatica (aerostatica per la precisione) dell’aria su gli organi mobili della bilancia.

Si procede immergendo l’immersore in acqua distillata alla temperatura di 3.98°C fino ad una certa tacca posta sul filo che lo sorregge. (condizione scelta non a caso, poiché a pressione atmosferica standard e alla temperatura di 3.98°C il decimetro cubo d’acqua è stato scelto come campione di massa di 1kg, pertanto la densità del acqua è esattamente 1000kg/m^3)
In questa nuova configurazione la spinta idrostatica che agisce sull’immersore farà sollevare il braccio graduato ed il movimento sarà ben visibile sull’indice 0-0.

Si supponga che il pesetto C1 sia scelto in modo tale da equilibrare perfettamente la spinta idrostatica dell’acqua, cioè abbia massa uguale alla massa d’acqua spostata dall’immersore: \$C_{1}=d_{a}V\$, dove \$d_{a}\$ è la densità dell’acqua distillata e V il volume del immersore compreso il filo fino alla sua tacca di riferimento. Posto quindi il pesetto C1 in posizione 10, la bilancia tornerà in posizione d’equilibrio e la situazione sarà come nella seguente figura:

Possiamo scrivere la seguente equazione: \[ M_{e}gb-M_{i}g10u+d_{a}Vg10u-C_{1}g10u=0 \]

Adesso sostituiamo l’acqua con un liquido di diversa densità, chiamiamola \$d_{l}\$ e supponiamo che il liquido abbia densità inferiore a quella dell’acqua. La spinta idrostatica sarà inferiore, la bilancia non sarà più in equilibrio e il braccio graduato cadrà in basso.

Per cercare di riportare la bilancia in equilibrio si può provare a spostare il pesetto C1 verso una posizione più vicina al fulcro in modo da ridurre il momento che tende a far ruotare in senso orario la bilancia. Tuttavia è improbabile che si riesca a trovare una posizione in cui la bilancia è perfettamente equilibrata, ci sarà una posizione in cui il braccio graduato si solleva, tale che spostando C1 nella posizione successiva il braccio affonda; la bilancia sarebbe in equilibrio se si potesse posizionare C1 tra queste due posizioni, ma non possiamo farlo. Quindi lasciamo C1 nella posizione in cui il braccio graduato si solleva. Per equilibrare la bilancia posizioniamo il pesetto C2 e ripetiamo come precedentemente. Continuiamo così fino al raggiungimento di un perfetto equilibrio o finché non abbiamo posizionato tutt’e quattro i pesetti. Man mano che si posizionano i pesetti più leggeri si notano movimenti sempre meno vistosi della bilancia, fino a giungere ad un equilibrio quasi perfetto. Siano x,y,z,w rispettivamente le posizioni su cui sono stati posti i pesetti C1,C2,C3,C4. In condizioni di equilibrio possiamo scrivere: \[ M_{e}gb-M_{i}g10u+d_{l}Vg10u-C_{1}gxu-C_{2}gyu-C_{3}gzu-C_{4}gwu=0 \] Abbiamo dunque un sistema di tre equazioni \begin{eqnarray*} M_{e}gb-M_{i}g10u & = & 0\\ M_{e}gb-M_{i}g10u+d_{a}Vg10u-C_{1}g10u & = & 0\\ M_{e}gb-M_{i}g10u+d_{l}Vg10u-C_{1}gxu-C_{2}gyu-C_{3}gzu-C_{4}gwu & = & 0 \end{eqnarray*}

Notando che il primo membro della prima equazione di bilancio è uguale a zero e che i suoi termini compaiono anche nella seconda e nella terza equazione, possono essere eliminati da queste ultime due. Successivamente si possono eliminare i fattori moltiplicativi g e u.

Il sistema si riduce a \begin{eqnarray*} d_{a}V10 & = & C_{1}10\\ d_{l}V10 & = & C_{1}x+C_{2}y+C_{3}z+C_{4}w \end{eqnarray*}

Si può quindi fare il rapporto di queste ultime due equazioni e ricavare la densità relativa dl/da del liquido:

\[ \frac{d_{l}}{d_{a}}=\frac{C_{1}x+C_{2}y+C_{3}z+C_{4}w}{C_{1}10} \]

e per le relazioni che sussistono fra i pesetti:

\[ \frac{d_{l}}{d_{a}}=\frac{C_{1}x+C_{1}y/10+C_{1}z/100+C_{1}w/1000}{C_{1}10} \]

ovvero \[ \frac{d_{l}}{d_{a}}=\frac{x}{10}+\frac{y}{100}+\frac{z}{1000}+\frac{w}{10000} \]

Ma questa è proprio la notazione decimale di un numero! Ricordate cosa sono i decimi, centesimi, millesimi, etc?

Dunque la densità relativa del liquido in esame si legge dalla posizione che occupano i pesetti sul braccio graduato. \[ \frac{d_{l}}{d_{a}}=0,xyzw \] ad esempio, con riferimento all’ultima figura si legge: dl/da=0,4828

Nota sui pesetti

Adesso che abbiamo capito come funziona la bilancia di Mohr Westphal, possiamo notare che la condizione che il pesetto C1 abbia peso tale da equilibrare perfettamente la spinta idrostatica dell’immersore in acqua distillata 3,98°C non è necessaria e sarebbe difficile da realizzare praticamente. Inoltre per ogni immersore sarebbe necessario un differente set di pesetti.

Ciò che è importante è che ogni pesetto sia un decimo del successivo e che C1 abbia un peso maggiore della spinta idrostatica in acqua dell’immersore.

Infatti, basta equilibrare la bilancia in acqua pura in condizioni di riferimento e successivamente nel liquido di cui si vuole misurare la densità.

Siano x*, y*, z*, w* le posizioni dei pesetti che determinano l’equilibrio in acqua e x,y,z,w nel liquido. Si possono scrivere le seguenti equazioni di bilancio:

\begin{eqnarray*} M_{e}gb-M_{i}g10u & = & 0\\
M_{e}gb-M_{i}g10u+d_{a}Vg10u-C_{1}gx^{*}u-C_{2}gy^{*}u-C_{3}gz^{*}u-C_{4}gw^{*}u & = & 0\\
M_{e}gb-M_{i}g10u+d_{l}Vg10u-C_{1}gxu-C_{2}gyu-C_{3}gzu-C_{4}gwu & = & 0 \end{eqnarray*}

Che danno la seguente soluzione:

\[ \frac{d_{l}}{d_{a}}=\frac{\frac{x}{10}+\frac{y}{100}+\frac{z}{1000}+\frac{w}{10000}}{\frac{x^{*}}{10}+\frac{y^{*}}{100}+\frac{z^{*}}{1000}+\frac{w^{*}}{10000}} \]

Cioè:

\[ \frac{d_{l}}{d_{a}}=\frac{0,xyzw}{0,x^{*}y^{*}z^{*}w^{*}} \]

In tal modo la portata della bilancia è estesa anche ai liquidi di densità superiore a quella dell’acqua.

Nota sulla precisione dei pesetti

La precisione della misura dipende principalmente dalla precisione con cui sono realizzati i pesetti. Volendo effettuare una misura che fornisca un risultato con 4 cifre significative è importante che il pesetto C1 abbia una precisione di almeno 5 cifre significative. La precisione dei pesetti successivi può essere via via inferiore: 4, 3, 2 cifre significative.

Nota sulla temperatura

Disponendo di tabelle molto precise sulla densità dell’acqua in funzione della temperatura, non è necessario effettuare per forza un primo bilancio alla temperatura di 3,98°C. Si può scegliere come riferimento qualunque temperatura a cui sia nota con sufficiente precisione la densità dell’acqua. A questo punto si può anche aggiungere che non è neccessario prendere come riferimento l’acqua, basta un qualunque liquido di cui siano note le proprietà. Si sottolinea il fatto che il risultato della misura con la bilancia di Mohr Westphal è una densità relativa.

Nella risoluzione del sistema di equazioni di bilancio compare il volume dell’immersore. Si è fatta l’ipotesi che il volume dell’immersore sia costante. Tuttavia il procedimento di misura richiede che si equilibri la bilancia dapprima in acqua a 3,98°C successivamente nel liquido oggetto di analisi.

Poiché la densità di un liquido varia con la temperatura, risulta d’interesse  fare delle misure a temperature diverse da quella di riferimento per l’acqua. La variazione di volume dell’immersore per effetto termico introdurrebbe una nuova incognita nelle equazioni di bilancio. Tuttavia il coefficiente volumetrico di dilatazione termica di molti materiali di uso comune è dell’ordine di \$10^{-5}\$. Se la misura viene effettuata in un range di temperatura che non si discosta di più di qualche decina di gradi dalla temperatura di riferimento, si può considerare trascurabile l’effetto della variazione di volume dell’immersore.

 

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