Immaginiamo un sistema che elabora una certa portata di fluido (può essere ad esempio una turbina idraulica, un motore, un compressore, etc) vogliamo ricavare una relazione generale che leghi per tale sistema gli scambi di lavoro e di energia fra loro.
Incominciamo la trattazione supponendo che il sistema sia puramente meccanico, ottenendo quella che viene chiamata equazione di Bernoulli, per poi estendere il risultato anche al caso di scambi termici, ottenendo quella che viene chiamata equazione del primo principio della termodinamica per i sistemi aperti.
Bilancio di lavoro nei sistemi con flusso puramente meccanici.
Schematizziamo il nostro sistema come un condotto dotato di una sezione d’ingresso A e una di uscita B.
All’interno del sistema sono presenti degli organi mobili, ad esempio le pale di una turbina o dei pistoni, da cui si può ottenere del lavoro utile Lu.
La macchina opererà sul fluido compreso tra la sezione d’ingresso A e di uscita B.
Per il teorema dell’energia cinetica, il lavoro di tutte le forze che agiscono sul fluido in un certo istante di tempo dovrà essere uguale alla variazione di energia cinetica Ec del fluido.
Possiamo suddividere il lavoro in lavoro delle forze sterne al fluido e lavoro delle forze interne al fluido.
Il lavoro che viene fatto dall’esterno sul fluido è così semplificabile:
- Lavoro delle forze conservative Lc, solitamente si considera solo la forza di gravità
- Lavoro di pulsione Lp, dovute alla pressione pa e pb che agiscono sulle sezioni di ingresso e uscita e che compiono lavoro per spingere o estrarre il fluido dal sistema.
- Lavoro utile Lu
- Lavoro delle forze di attrito sulle pareti del condotto Lae
Le forze interne invece contribuiscono a generare:
- Lavoro delle forze interne Li, dovuto al fatto che ogni volumetto elementare di fluido ha una certa pressione.
- Lavoro delle forze di attrito interno Lai, dovuto al fatto che ogni fluido oppone una certa resistenza al movimento (vischiosità).
Quindi:
\[ dE_{C}= \partial L_{u}+dL_{p}+ \partial L_{i}+dL_{con}+\partial L_{ae}+\partial L_{ai} \]
Procediamo adesso a esprimere ogni termine del bilancio. Per semplificare la trattazione, assumiamo che si verifichino le seguenti condizioni:
- Il sistema lavora in regime stazionario, ovvero le proprietà del fluido restano costanti in ogni punto del sistema. Ma in generale variano da un punto all’altro.
- Il flusso è monodimensionale, ovvero le proprietà del fluido variano in funzione di una sola ascissa lungo il cammino del fluido da A a B. Una volta individuato tale cammino si potranno integrare le proprietà del fluido lungo di esso.
Variazione di energia cinetica del fluido
Possiamo immaginare che in un istante infinitesimo di tempo dt, il fluido oggetto della nostra analisi, si sia spostato causando lo spostamento della sezione d’ingresso da A in A’ e di quella di uscita da B a B’. Come in figura.
Questo genera tre volumi, all’istante t il sistema è composto dal volume I della massa di fluido che è appena entrata nel volume di controllo ed il volume II del fluido che sta transitando nel sistema. All’istante \(t+\Delta t\), il volume I sarà transitato ed il sistema sarà costituito ancora dal volume II e dal volume III generato dal fluido che è uscito.
Tra l’istante t e \(t+\Delta t\) la variazione di energia cinetica sarà data dalla differenza tra l’energia cinetica dei volumi II e III all’istante \(t+\Delta t\) e l’energia cinetica dei volumi I e II all’istante t. Tuttavia, dato che abbiamo supposto che il sistema lavora a regime stazionario, non cambiano le proprietà del fluido nel nel volume II, quindi la variazione di energia cinetica è solo funzione della differenza di energia cinetica tra i volumi III e I.
\[ \Delta E_{C}=(E_{C}^{III}+E_{C}^{II})_{t+\Delta t}-(E_{C}^{II}+E_{C}^{I})_{t}=(E_{C}^{III})_{t+\Delta t}-(E_{C}^{I})_{t}=E_{C}^{III}-E_{C}^{I} \]
Se si effettua il passaggio al limite per \(\Delta t\rightarrow0\)
\[dE_{c}=dE_{C}^{III}-dE_{C}^{I}\]
L’energia cinetica nel volume I è la somma dell’energia cinetica di ogni elementino dmI di fluido in esso racchiuso.
\[E_{C}^{I}=\int_{volume\:I}\frac{W^{2}}{2}dm^I\]
allo stesso modo
\[E_{C}^{III}=\int_{volume\:III}\frac{W^{2}}{2}dm^{III}\]
Però considerando un istante di tempo infinitesimo, le sezioni A e A’ tendono a combaciare e la velocità con cui il fluido scorre tenderà al valore della velocità del fluido nella sezione d’ingresso A. Percui
\[dE_{C}^{I}=\frac{W_A^{2}}{2}dm^I\]
ed analogamente
\[dE_{C}^{III}=\frac{W_B^{2}}{2}dm^{III}\]
Per l’ipotesi di stazionarietà non ci può essere accumulo di massa nel sistema, ciò che entra è uguale a quello che esce. In termini di portata massica, si scrive \( dm^{I}=dm^{III}=dm=\dot{m}dt \)
concludendo in fine che:
\[ dE_{C}=\frac{W_{B}^{2}-W_{A}^{2}}{2}\dot{m}dt \]
Lavoro di pulsione
Denotiamo x l’ascissa con cui stiamo seguendo il percorso del fluido, AA l’aera della sezione in ingresso, VI il volume I e va il volume specifico del fluido all’ingresso del sistema . Allora passando al limite per \(\Delta t\rightarrow0\) il lavoro di pulsione sulla sezione A si può così esprimere:
\[ dL_{p,A}=p_{a}A_{A}dx_{a}=p_{a}dV^{I}=p_{a}v_{a}dm^{I}=p_{a}v_{a}\dot{m}dt \]
allo stesso modo, il lavoro di pulsione in uscita, facendo attenzione al segno
\[ dL_{p,B}=-p_{b}A_{B}dx_{b}=-p_{b}dV^{III}=-p_{b}v_{b}dm^{III}=-p_{b}v_{b}\dot{m}dt \]
In fine ricaviamo
\[ dL_{p}=-(p_{b}v_{b}-p_{a}v_{a})\dot{m}dt \]
Lavoro delle forze conservative
Come ben noto dai corsi di fisica 1, il lavoro di queste forze dipende soltanto dalla posizione.
Quindi, se ipotizziamo che l’unico campo di forze conservative che agisca sul sistema sia quello di gravità allora per un elementino di massa dm che entra in A ed esce in B dal sistema:
\[ dL_{con}=-g(z_{B}-z_{A})dm=-g(z_{B}-z_{A})\dot{m}dt \]
Lavoro utile
Lo enunciamo in termini di portata massica in modo da avere delle espressioni coerenti alle precedenti:
\[\partial L_{u}=-l_{u}\dot{m}dt\]
lu è il lavoro utile specifico. Si faccia solo attenzione al segno, supponiamo positivo il lavoro utile specifico quando fatto dal fluido verso l’esterno, pertanto causa una diminuzione dell’energia cinetica del fluido.
Lavoro delle forze di attrito
Racchiudiamo in questo termine sia gli attriti interni che quelli esterni. Non potendo generalizzare il fenomeno lo enunciamo in termini di portata massica in modo da avere delle espressioni coerenti alle precedenti, con ra>0 allora:
\[\partial L_{a}=-r_a\dot{m}dt\]
Si faccia solo attenzione al segno. L’attrito è un fenomeno dissipativo!
Lavoro delle forze interne
Ci addentriamo nell’argomento più significativo di questa esposizione.
Facciamo un esempio di forza interna: consideriamo un sistema composto da due masse collegate da una molla. La forza elastica è in questo caso una forza interna al sistema e compie lavoro col variare della distanza s fra le due masse.
Data la legge della forza elastica, il lavoro L è
\[ L=\int F\cdot ds \]
Le interazioni reciproche fra le molecole danno luogo a delle forze, il cui effetto macroscopico è la pressione p del fluido.
Consideriamo un piccolo volumetto di fluido che transita nel sistema, sufficientemente piccolo che la pressione possa ritenersi la stessa in ogni suo punto. Immaginiamo il volumetto di forma quadrata o di parallelepipedo. Se il fluido sarà compresso o espanso durante il suo cammino nel sistema, il cubetto di fluido sarà sottoposto a processi che ne altereranno le dimensioni.
Su ogni faccia del cubetto sarà esercitata una forza, pari a pressione per superficie. Quindi, noto come variano le dimensioni del cubetto si, sj, sk e la pressione p durante il cammino nel sistema da A a B, possiamo scrivere che il lavoro delle forze di pressione interne al cubetto è:
\[ \begin{eqnarray*} L_{ic} & = & \int_{A}^{B}p\cdot s_{j}s_{k}ds_{i}+\int_{A}^{B}p\cdot s_{i}s_{k}ds_{j}+\int_{A}^{B}p\cdot s_{i}s_{j}ds_{k}\\ & = & \int_{A}^{B}p\cdot dV\\ & = & m\int_{A}^{B}p\cdot dv \end{eqnarray*} \]
infatti, \(V=s_{i}s_{j}s_{k}\) allora \(dV=s_{i}s_{j}ds_{k}+s_{i}s_{k}ds_{j}+s_{j}s_{k}ds_{i}\) e inoltre se v è il volume specifico del fluido allora V = mv, quindi dV=mdv dato che la massa del cubetto non cambia.
Se, come nei casi precedenti, consideriamo la massa di fluido \(dm=\dot{m}dt\) che entra nell’intervallo infinitesimo di tempo dt e immaginiamo di suddividerla in tanti piccoli cubetti, allora,
\[ \partial L_{i}=\dot{m}dt\int_{A}^{B}p\cdot dv \]
è da notare che se il fluido operante è incomprimibile allora le forze interne di pressione non compiono lavoro. È il caso di una turbina idraulica o un impianto oleodinamico.
Equazione di Bernoulli.
Possiamo finalmente inserire nel nostro bilancio i termini precedentemente ricavati:
\[ dE_{C}=\partial L_{u}+dL_{p}+\partial L_{i}+dL_{con}+\partial L_{ae}+\partial L_{ai} \]
\[ \frac{W_{B}^{2}-W_{A}^{2}}{2}\dot{m}dt = -l_{u}\dot{m}dt-(p_{b}v_{b}-p_{a}v_{a})\dot{m}dt+\dot{m}dt\int_{A}^{B}p\cdot dv-g(z_{B}-z_{A})\dot{m}dt-r_{a}\dot{m}dt \]
ovvero, semplificando si ottiene un equazione che lega le grandezze specifiche:
\[\frac{W_{B}^{2}-W_{A}^{2}}{2}+g(z_{B}-z_{A})+(p_{b}v_{b}-p_{a}v_{a})-\int_{A}^{B}p\cdot dv+l_{u}+r_{a}=0 \]
considerando che \(d(pv)=pdv+vdp\) si ottiene l’equazione di Bernoulli:
\[\frac{W_{B}^{2}-W_{A}^{2}}{2}+g(z_{B}-z_{A})+\int_{A}^{B}v\cdot dp+l_{u}+r_{a}=0 \]
dove il termine \(\int_{A}^{B}v\cdot dp\) ingloba sia il lavoro delle forze di pulsione che quelle interne.
Laddove le variazioni di energia cinetica e potenziale gravitazionale per il fluido operante siano nulle o trascurabili, il lavoro utile che la macchina può generare per unità di massa del fluido è dato da:
\[l_{u}=-\int_{A}^{B}v\cdot dp -r_{a}\]
Bilancio energia nei sistemi con flusso.
Faremo un bilancio di energia usando il primo principio della termodinamica che, a differenza del caso precedente dove abbiamo concentrato la nostra attenzione sulle forze interne ed esterne agenti sul fluido,si esprime più semplicemente in termini di calore e lavoro entrante ed uscente dal sistema. Nel bilancio non saranno espliciti i termini dovuti alle forze interne e all’attrito poiché i loro effetti restano interni al sistema. Questo non vorrà dire che non saranno più presenti, semplicemente i loro effetti saranno inglobati nel termine “energia interna”.
Considereremo un volume di controllo V.C. che comprende tutto il sistema e tale che la sua superficie passi per le sezioni d’ingresso A e di uscita B.
Oltre alla massa di fluido che lo attraversa, il sistema scambia con l’ambiente Calore Q, lavoro utile Lu e lavoro di pulsione Lp.
Facendo attenzione ai segni, perché adesso consideriamo positivo il lavoro quando fatto dal sistema e positivo il calore fornito al sistema (convenzione dei segni usata in termodinamica) il primo principio esprime la variazione di energia totale del sistema \(E_{tot}\) nel seguente modo:
\[ \Delta E_{tot}=Q-L_{u}-L_{p} \]
separando l’energia totale nelle sue tre componenti: Interna, cinetica e potenziale:
\[ \Delta U+\Delta E_{c}+\Delta E_{p}=Q-L_{u}-L_{p} \]
Assumendo che si verifichino le seguenti condizioni:
- Il sistema lavora in regime stazionario
- Il flusso è monodimensionale. Basta che lo sia soltanto in un intorno delle sezioni d’ingresso e uscita, poiché in questo caso non avremo bisogno d’integrare le proprietà del fluido lungo il suo cammino nel sistema.
in maniera analoga a quanto fatto prima con l’energia cinetica, possiamo esplicitare la variazione di energia interna in funzione di un elemento infinitesimo di massa di fluido che transita nel sistema
\[ dU=(u_{B}-u_{A})\dot{m}dt \]
avendo denotato con u minuscolo l’energia interna specifica, cioè per unità di massa. Questo ci permette di affermare che c’è anche un flusso di energia associato alla massa.
In maniera del tutto analoga a quanto già dimostrato, si ricava anche:
\[ dE_{C}=\frac{W_{B}^{2}-W_{A}^{2}}{2}\dot{m}dt \]
\[ dE_{p}=g(z_{B}-z_{A})\dot{m}dt \]
\[ dL_{p}=(p_{b}v_{b}-p_{a}v_{a})\dot{m}dt \]
Pertanto possiamo scrivere:
\[ dU+dE_{C}+dE_{p}= \partial Q- \partial L_{u}-dL_{p}\]
ed in termini specifici
\[(u_{B}-u_{A}) + \frac{W_{B}^{2}-W_{A}^{2}}{2}+g(z_{B}-z_{A}) = q -l_{u} -(p_{b}v_{b}-p_{a}v_{a})\]
Definendo h = u +pv si ottiene una nuova grandezza chiamata entalpia che tiene conto della variazione di energia interna e del lavoro di pulsione.
\[q- l_{u} = (h_{B}-h_{A}) + \frac{W_{B}^{2}-W_{A}^{2}}{2}+g(z_{B}-z_{A}) \]
il seguente prende il nome di
primo principio della termodinamica per sistemi con flusso:
\[q- l_{u} = \Delta h + \Delta e_c+ \Delta e_p \]
Nel caso che la variazione di energia cinetica e di potenziale gravitazionale siano nulli o trascurabili
\[ q- l_{u} = \Delta h \]
quindi, per una macchina che non scambia calore, il lavoro utile, per unità di massa di fluido elaborato può essere calcolato semplicemente conoscendo la variazione di entalpia del fluido tra le sezioni di ingresso e uscita.
\[ l_{u} = -\Delta h \]
Similmente, per una macchina che non compie lavoro
\[ q = \Delta h \]