La regola mnemonica di Nepero permette di risolvere rapidamente un triangolo sferico rettangolo o rettilatero. Nella soluzione degli esercizi può essere paragonata per importanza al teorema di Pitagora per i triangoli piani.

Per giungere alla soluzione di un triangolo sferico, si potrebbero usare le formule generali che ho postato in precedenza, ma un triangolo sferico che ha un angolo o un lato di 90° può essere risolto molto più semplicemente.

Le formule di Borda permettono di ricavare gli angoli interni di un triangolo sferico dalla conoscenza dell’ampiezza dei suoi lati e viceversa. Lo stesso risultato si sarebbe potuto ottenere usando le formule del coseno, ma nelle formule di Borda compaiono una radice, prodotti e divisioni, rendendola di semplice applicazione usando le tabelle dei logaritmi e delle funzioni trigonometriche: la calcolatrice scientifica è un’invenzione relativamente recente. Hanno trovato largo impiego nei problemi di navigazione astronomica.

Il teorema del coseno (detto anche di Eulero) lega quattro elementi di un triangolo sferico e permette di ricavare l’ampiezza di un lato dalla conoscenza degli altri due lati e dell’angolo fra essi compresi, oppure di ricavare un angolo interno dalla conscenza degli altri due angoli e dell’ampiezza del lato ad esso opposto.

Il teorema delle cotangenti, invece, può essere visto come una diretta conseguenza del teorema dei seni e del coseno. Permette di legare quattro elementi consecutivi nella forma lato-angolo-lato-angolo e quindi ricavare un lato dalla conoscenza di un altro lato e degli angoli ad esso adiacenti.

L’uso sapiente di questi teoremi consente di risolvere triangoli sferici noti tre dei suoi elementi

L’area di un triangolo sferico è uguale all’eccesso sferico moltiplicato per il quadrato del raggio della sfera.

Piccola raccolta di teoremi di uguaglianza dei triangoli sferici.